Posted on Categories:Linear algebra, 数学代写, 线性代数

# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MAST10007 Normal Operators

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Normal Operators

Now let us discuss the properties of normal operators, including the key properties that we used to motivate the definition of normal operators.

Theorem 10.8 Let $V$ be an inner product space, and let $\tau$ be a normal operator on V.
1) For any polynomial $\mathrm{p}(\mathrm{x}) \in \mathrm{F}[\mathrm{x}]$, the operator $\mathrm{p}(\tau)$ is also normal.
2) $\tau(\mathbf{v})=\mathbf{0} \Rightarrow \tau^(\mathbf{v})=\mathbf{0}$ 3) $\tau^{\mathrm{k}}(\mathbf{v})=\mathbf{0}$ for any $\mathrm{k}>0 \Rightarrow \tau(\mathbf{v})=\mathbf{0}$ 4) For any $\lambda \in \mathrm{F},(\tau-\lambda)^{\mathbf{k}}(\mathbf{v})=\mathbf{0} \Rightarrow(\tau-\lambda)(\mathbf{v})=\mathbf{0}$ 5) If $\tau(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}$, then $\tau^(\mathbf{v})=\bar{\lambda}(\mathbf{v})$.
6) If $\lambda, \mu$ are distinct eigenvalues of $\tau$, then $\delta_\lambda \perp \delta_\mu$.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Orthogonal Diagonalization

We are now in a position to state one of the most beautiful theorems in linear algebra.

Theorem 10.9 Let $\mathrm{V}$ be a finite dimensional complex inner product space.
1) A linear operator $\tau$ on $\mathrm{V}$ is orthogonally diagonalizable if and only if it is normal.
2) Among all normal operators on V, we can characterize selfadjoint and unitary ones by their eigenvalues. To wit:
a) A normal operator is self-adjoint if and only if all of its eigenvalues are real.
b) A normal operator is unitary if and only if all of its eigenvalues have absolute value 1 .

Proof. To prove part (1), let $\tau$ be a normal operator on a complex inner product space. If the prime factorization of the minimal polynomial of $\tau$ is
$$\mathrm{m}\tau(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}-\lambda_1\right)^{\mathrm{e}_1} \cdots\left(\mathrm{x}-\lambda{\mathbf{k}}\right)^{\mathbf{e}{\mathbf{k}}}$$ then the primary decomposition theorem gives $$\mathrm{V}=\mathrm{V}_1 \oplus \cdots \oplus \mathrm{V}{\mathbf{k}}$$
where, according to part (4) of Theorem 10.8 ,
$$\mathrm{V}{\mathrm{i}}=\left{\mathbf{v} \in \mathrm{V} \mid\left(\tau-\lambda{\mathrm{i}}\right)^{\mathrm{e}{\mathrm{i}}}(\mathbf{v})=\mathbf{0}\right}=\left{\mathbf{v} \in \mathrm{V} \mid\left(\tau-\lambda{\mathrm{i}}\right)(\mathbf{v})=\mathbf{0}\right}=8_{\lambda_{\mathrm{i}}}$$
Hence, the minimal polynomial of $\left.\tau\right|{V_i}$ is $\mathrm{x}-\lambda{\mathrm{i}}$, and so $\mathrm{e}{\mathrm{i}}=1$ for all i. Thus $$\mathrm{V}=8{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus 8_{\lambda_{\mathrm{k}}}$$
Moreover, part (6) of Theorem 10.8 shows that $\mathrm{V}$ is the orthogonal direct sum
$$\mathrm{V}=8_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus 8_{\lambda_k}$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Normal Operators

1) 对于任何多项式 $\mathrm{p}(\mathrm{x}) \in \mathrm{F}[\mathrm{x}]$ ，运营商 $\mathrm{p}(\tau)$ 也很正常。
2) $\left.\tau(\mathbf{v})=\mathbf{0} \Rightarrow \tau^{(} \mathbf{v}\right)=0$ 3) $\tau^{\mathrm{k}}(\mathbf{v})=0$ 对于任何 $\mathbf{k}>0 \Rightarrow \tau(\mathbf{v})=04$ 对于任何
$\left.\lambda \in \mathrm{F},(\tau-\lambda)^{\mathbf{k}}(\mathbf{v})=\mathbf{0} \Rightarrow(\tau-\lambda)(\mathbf{v})=\mathbf{0 5}\right)$ 如果 $\tau(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}$ ，然后 $\tau^{\prime}(\mathbf{v})=\bar{\lambda}(\mathbf{v})$.
6) 如果 $\lambda, \mu$ 是不同的特征值 $\tau$ ，然后 $\delta_\lambda \perp \delta_\mu$.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Orthogonal Diagonalization

1) 线性算子 $\tau$ 在V正交可对角化当且仅当它是正规的。
2) 在 $V$ 上的所有正规算子中，我们可以用它们的特征值来刻画自伴算子和酉算子。也就是说:
a) 当且仅当它的所有特征值都是实数时，正规算子是自伴随的。
b）当且仅当其所有特征值都具有绝对值 1 时，正规算子是酉算子。

$$\mathrm{m} \tau(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}-\lambda_1\right)^{\mathrm{e}1} \cdots(\mathrm{x}-\lambda \mathbf{k})^{\mathbf{e k}}$$ 然后初级分解定理给出 $$\mathrm{V}=\mathrm{V}_1 \oplus \cdots \oplus \mathbf{V} \mathbf{k}$$ 其中，根据定理 10.8 的第 (4) 部分， \left 缺少或无法识别的分隔符 因此，最小多项式 $\tau \mid V_i$ 是 $\mathrm{x}-\lambda \mathrm{i}$ ，所以 $\mathrm{e}=1$ 对于所有我。因此 $$\mathrm{V}=8 \lambda_1 \oplus \cdots \oplus 8{\lambda_{\mathrm{k}}}$$

$$\mathrm{V}=8_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus 8_{\lambda_k}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。