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# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MEE356 The Algebra of Projections

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## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Algebra of Projections

If $\rho$ is a projection, then so is $\iota-\rho$, where $\iota$ is the identity operator on $\mathrm{V}$, for we have
$$(\iota-\rho)^2=\iota^2-\iota \rho-\rho \iota+\rho^2=\iota-\rho$$
It is not hard to see that $\operatorname{ker}(\iota-\rho)=i m(\rho)$ and $i m(\iota-\rho)=\operatorname{ker}(\rho)$. Hence, if $\rho$ is projection on $\mathrm{S}$ along $\mathrm{S}^{\mathrm{c}}$, then $\iota-\rho$ is projection on $\mathrm{S}^{\mathrm{c}}$ along $\mathrm{S}$.

Definition Two projections $\rho, \sigma \in \mathcal{L}(\mathrm{V})$ are orthogonal, written $\rho \perp \sigma$, if $\rho \sigma=\sigma \rho=0$.
Note that $\rho \perp \sigma$ if and only if
$$i m(\rho) \subset \operatorname{ker}(\sigma) \text { and } i m(\sigma) \subset \operatorname{ker}(\rho)$$
The following example shows that it is not enough to have $\rho \sigma=0$ in the definition of orthogonality, since it is possible for $\rho \sigma=0$ and yet $\sigma \rho$ may not even be a projection.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Resolutions of the Identity

If $\rho$ is a projection, then
$$\rho \perp(\iota-\rho) \text { and } \rho+(\iota-\rho)=\iota$$
Let us generalize this to more than two projections.
Definition If $\rho_1, \ldots, \rho_{\mathrm{k}}$ are projections for which
1) $\rho_{\mathrm{i}} \perp \rho_{\mathrm{j}}$ for $\mathrm{i} \neq \mathrm{j}$
2) $\rho_1+\cdots+\rho_{\mathrm{k}}=\iota$
then we refer to the sum in (2) as a resolution of the identity. [
The next theorem displays a correspondence between direct sum decompositions of $\mathrm{V}$ and resolutions of the identity.

Theorem 8.17
1) If $\rho_1+\cdots+\rho_{\mathbf{k}}=\iota$ is a resolution of the identity, then
$$\mathrm{V}=i m\left(\rho_1\right) \oplus \cdots \oplus i m\left(\rho_{\mathbf{k}}\right)$$
2) Conversely, if $\mathrm{V}=\mathrm{S}1 \oplus \cdots \oplus \mathrm{S}{\mathrm{k}}$, and $\rho_{\mathrm{i}}$ is projection on $\mathrm{S}{\mathrm{i}}$ along $\mathrm{S}_1 \oplus \cdots \oplus \widehat{S}{\mathrm{i}} \oplus \cdots \oplus \mathrm{S}{\mathrm{k}}$, where the hat ” means that the corresponding term is missing from the direct sum. Then $$\rho_1+\cdots+\rho{\mathbf{k}}=\iota$$
is a resolution of the identity.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Algebra of Projections

$$(\iota-\rho)^2=\iota^2-\iota \rho-\rho \iota+\rho^2=\iota-\rho$$

$$\operatorname{im}(\rho) \subset \operatorname{ker}(\sigma) \text { and } \operatorname{im}(\sigma) \subset \operatorname{ker}(\rho)$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Resolutions of the Identity

$\rho \perp(\iota-\rho)$ and $\rho+(\iota-\rho)=\iota$

2) $\rho_1+\cdots+\rho_{\mathrm{k}}=\iota$

1) 如果 $\rho_1+\cdots+\rho_{\mathbf{k}}=\iota$ 是恒等式的解析，那么
$$\mathrm{V}=i m\left(\rho_1\right) \oplus \cdots \oplus i m\left(\rho_{\mathbf{k}}\right)$$
2) 相反，如果 $\mathrm{V}=\mathrm{S} 1 \oplus \cdots \oplus \mathrm{Sk}$ ，和 $\rho_{\mathrm{i}}$ 是投影 $\mathrm{Si}$ 沿着 $\mathrm{S}_1 \oplus \cdots \oplus \widehat{S} \mathrm{i} \oplus \cdots \oplus \mathrm{Sk}$ ，其中“帽子” 表示直和中缺少相应的项。然后
$$\rho_1+\cdots+\rho \mathbf{k}=\iota$$

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