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## 复分析代考_Complex analysis代考_Animations

We have also created animations involving our symmetric designs. We will just give one illustration of the ideas involved. The animation we describe can be found at this link:
We produced this animation in the following way. First, we selected a unit-length complex number $p=e^{i \theta}$ for small positive $\theta$. We then created a succession of designs using the mappings:
$$z \rightarrow(1+i)+p^n(i / 4) z^6+\frac{1}{p^n} \frac{1}{z^6}=u+i v \stackrel{\mathscr{C}}{\rightarrow}[u \bmod 1000]+i[v \bmod 1000]$$

for $n=0,1,2, \ldots, 99$. This produced 100 separate designs that are displayed one after another to create the animation. The interesting thing about this animation is that it will appear to rotate in the positive angular direction on its outer part versus a negative angular rotation on its inner part. The reason for this is that $p^n$ has angle $n \theta$ for $n=0,1,2, \ldots, 99$, which is a sequence of increasing angles in the counter-clockwise direction. The outer part of the design corresponds to values of $z$ that have lengths larger than 1 , and for larger values of $|z|$ we have
$$(1+i)+p^n(i / 4) z^6+\frac{1}{p^n} \frac{1}{z^6} \approx p^n(i / 4) z^6$$
so the outer part of the design successively rotates through the angles $n \theta=\arg \left(p^n\right), n=0,1,2, \ldots, 99$. A similar argument shows that for $z$ close to 0, the design simultaneously rotates through the angles $-n \theta$.

## 复分析代考_Complex analysis代考_Four-fold and Two-fold Wallpaper Symmetry

In Figure 6.7, we show a wallpaper design that is symmetric with respect to 4fold symmetry and various reflection symmetries. For this design, we used the Reptile image. To create a function $f$ having square lattice symmetry and fourfold rotational symmetry, we follow the procedure described by Farris [9]. First, we use as a basis the set of complex exponentials $\left{E_{m, n}(z)=e^{2 \pi i(m x+n y)}\right}$ for all $m, n \in \mathbb{Z}$ and $z=x+i y \in \mathbb{C}$. Any finite, or convergent, sum $\sum a_{m, n} E_{m, n}(z)$ is guaranteed to have the required translational symmetry. To obtain rotational symmetry, we employ group averaging. In this case, the group is the rotations given by powers of $i=e^{2 \pi i / 4}$. The group average $W_{m, n}$ of $E_{m, n}$ is defined by $W_{m, n}(z)=\frac{1}{4} \sum_{k=0}^3 E_{m, n}\left(i^k z\right)$. Any finite, or convergent, linear combination $f(z)=\sum a_{m, n} W_{m, n}(z)$ is guaranteed to have both square lattice symmetry and four-fold rotational symmetry about the origin.

## 复分析代考_Complex analysis代考_Animations

$\theta$. 然后我们使用映射创建了一系列设计:
$$z \rightarrow(1+i)+p^n(i / 4) z^6+\frac{1}{p^n} \frac{1}{z^6}=u+i v \stackrel{\mathscr{C}}{\rightarrow}[u \bmod 1000]+i[v \bmod 1000]$$

$n=0,1,2, \ldots, 99$ ，这是逆时针方向增加角度的序列。设计的外部对应于值 $z$ 具有大于 1 的长度，并且对于 较大的值 $|z| z \mid$ 我们有
$$(1+i)+p^n(i / 4) z^6+\frac{1}{p^n} \frac{1}{z^6} \approx p^n(i / 4) z^6$$

## 复分析代考Complex analysis代考_Four-fold and Two-fold Wallpaper Symmetry

$W_{m, n}(z)=\frac{1}{4} \sum_{k=0}^3 E_{m, n}\left(i^k z\right)$. 任何有限的或收敛的线生组合 $f(z)=\sum a_{m, n} W_{m, n}(z)$ 保证具有方格对 称性和关于原点的四重旋转对称性。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。