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# 复分析代考_Complex analysis代考_MATH3401 Spectral Theoretic Setup

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## 复分析代考_Complex analysis代考_Spectral Theoretic Setup

We now present the spectral theoretic setup for the $\bar{\partial}$-Neumann Laplacian. We will show that the $\bar{\partial}$-Neumann Laplacian defined by its associated quadratic form is consistent with the one defined through Definition 5.2.9. As a consequence, we establish the self-adjoint property of the $\bar{\partial}$-Neumann Laplacian and show that the domain of its square root is the same as that of its associated quadratic form. We will use $\mathscr{R}(\mathrm{T})$ and $\mathscr{N}(\mathrm{T})$ to denote respectively the range and kernel of the operator $T$.

Lemma 5.3.1. Let $T: \mathbb{H}_1 \rightarrow \mathbb{H}_2$ be a densely defined and closed operator and let $T^*$ be its adjoint. Then the following are equivalent:

1. $\mathscr{R}(\mathrm{T})$ is closed.
2. There exists a positive constant $C$ such that $|f| \leq C|T f|$ for all $f \in \operatorname{Dom}(\mathrm{T}) \cap \mathscr{N}(\mathrm{T})^{\perp}$.
3. $\mathscr{R}\left(\mathrm{T}^*\right)$ is closed.
4. There exists a positive constant C such that $|f| \leq C\left|T^* f\right|$ for all $f \in \operatorname{Dom}\left(\mathrm{T}^\right) \cap \mathscr{N}\left(\mathrm{T}^\right)^{\perp}$.
Proof: We first prove the implication $(1) \Rightarrow(2)$. In this case, $T: \operatorname{Dom}(\mathrm{T}) \cap \mathscr{N}(\mathrm{T})^{\perp} \rightarrow \mathscr{R}(\mathrm{T})$ is a bijective closed map. Its inverse is also a closed map from the closed subspace $\mathscr{R}(\mathrm{T})$ into $\mathscr{H}1$. Applying the closed graph theorem, we thus have (2). We now prove $(2) \Rightarrow(1)$. Suppose $T f_j \rightarrow g$. Write $f_j=f_j^1+f_j^2$ where $f_j^1 \in \mathscr{N}(\mathrm{T})$ and $f_j^2 \in \mathscr{N}(\mathrm{T})^{\perp}$. Then by $(2), f_j^2$ is a Cauchy sequence in $\mathbb{H}_1$. Assume $\lim {j \rightarrow \infty} f_j^2=f$. Then $T f=g \in \mathscr{R}(\mathrm{T})$ since $T$ is closed. The proof of $(3) \Leftrightarrow(4)$ follows the same lines as that of $(1) \Leftrightarrow(2)$.

## 复分析代考_Complex analysis代考_Pseudoconvexity

Pseudoconvexity is a central concept in several complex variables. In this section, we will review the rudiments of this concept. Interested readers can find a more extensive treatment in [ $\mathrm{Kr} 01]$. One of the most striking differences between one complex variable and several complex variables is the Hartogs extension phenomenon, of which the following is the simplest example:

Example 5.4.1 Suppose $f\left(z_1, z_2\right)$ is a holomorphic function on $\Omega=\left{\left(z_1, z_2\right) \in \mathbb{C}^2|| z_1|<2,| z_2 \mid<2\right} \backslash\left{\left(z_1, z_2\right) \in \mathbb{C}^2|| z_1|<1,| z_2 \mid<1\right}$. Then $f$ has a holomorphic extension $\tilde{f}$ to $\widehat{\Omega}=\left{\left(z_1, z_2\right)|| z_1|<2,| z_2 \mid<2\right}$.
Proof: For $\left|z_1\right|<1$, expanding $f\left(z_1, z_2\right)$ as a Laurent series in $z_2$, we have
$$f\left(z_1, z_2\right)=\sum_{j=-\infty}^{\infty} a_j\left(z_1\right) z_2^j,$$
where
$$a_j\left(z_1\right)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\left|z_2\right|=3 / 2} \frac{f\left(z_1, \zeta\right)}{\zeta^{j+1}} d \zeta$$

## 复分析代考_Complex analysis代考_Spectral Theoretic Setup

1. $\mathscr{R}(\mathrm{T})$ 关闭了。
2. 存在正常数 $C$ 这样 $|f| \leq C|T f|$ 对全部 $f \in \operatorname{Dom}(\mathrm{T}) \cap \mathscr{N}(\mathrm{T})^{\perp}$.
3. $\mathscr{R}\left(\mathrm{T}^*\right)$ 关闭了。
4. 存在一个正常数 C 使得 $|f| \leq C\left|T^* f\right|$ 对全部缺少 $\backslash$ left 或额外的 $\backslash$ right.
证明: 我们首先证明蕴涵 $(1) \Rightarrow(2)$. 在这种情况下， $T: \operatorname{Dom}(\mathrm{T}) \cap \mathscr{N}(\mathrm{T})^{\perp} \rightarrow \mathscr{R}(\mathrm{T})$ 是双射闭映射。它的逆也是来自闭子空间的闭映射 $\mathscr{R}(T)$ 进入 $\mathscr{H} 1$. 应用闭图定理，我们因此 有 (2) 。我们现在证明 $(2) \Rightarrow(1)$. 认为 $T f_j \rightarrow g$. 写 $f_j=f_j^1+f_j^2$ 在哪里 $f_j^1 \in \mathscr{N}(\mathrm{T})$ 和 $f_j^2 \in \mathscr{N}(\mathrm{T})^{\perp}$. 然后由 $(2), f_j^2$ 是一个柯西序列 $\mathbb{H}_1$. 认为 $\lim j \rightarrow \infty f_j^2=f$. 然后 $T f=g \in \mathscr{R}(T)$ 自从 $T$ 关闭了。的证明 $(3) \Leftrightarrow(4)$ 遵循与 $(1) \Leftrightarrow(2)$.

## 复分析代考Complex analysis代考_Pseudoconvexity

$$a_j\left(z_1\right)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\left|z_2\right|=3 / 2} \frac{f\left(z_1, \zeta\right)}{\zeta^{j+1}} d \zeta$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。