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数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CMSC456 A Dozen Non-Factoring Attacks

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密码学Cryptography Theory 在现代很大程度上是基于数学理论和计算机科学实践的;密码学算法是围绕计算硬度假设设计的,这使得这种算法在实际操作中很难被任何对手破解。虽然在理论上有可能破解一个设计良好的系统,但在实际操作中这样做是不可行的。因此,这种方案,如果设计得好,被称为 “计算安全”;理论上的进步(例如,整数分解算法的改进)和更快的计算技术要求这些设计被不断地重新评估,如果有必要的话,要进行调整。信息理论上的安全方案,即使有无限的计算能力也无法被破解,如一次性密码键盘,在实践中比理论上可被破解但计算上安全的最佳方案更难使用。

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数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CMSC456 A Dozen Non-Factoring Attacks

数学代写|密码学Cryptography Theory代考|A Dozen Non-Factoring Attacks

This attack was first demonstrated by Gus Simmons (Figure 15.1) in $1983 .{ }^1$
Imagine that a common message is sent to two individuals who share the same value for $n$, but use distinct values for $e$. Suppose Eve intercepts both enciphered messages:
$$
C_1=M^{e_1}(\bmod n) \text { and } C_2=M^{c_2}(\bmod n) .
$$
If $e_1$ and $e_2$ are relatively prime, she may then use the Euclidean algorithm to find integers $x$ and $y$ such that $x e_1+y e_2=1$. Exactly one of $x$ and $y$ must be negative. Assume it is $x$. Eve then calculates
$$
\left(C_1^{-1}\right)^{-x} C_2^y=C_1^x C_2^y=\left(M^{e_1}\right)^x\left(M^{e_2}\right)^y=M^{x e_1+j e_2}=M^1=M(\bmod n) .
$$
Thus, Eve, who hasn’t recovered $d$, can obtain $M$.

Imagine the malicious hacker Mallory controls Alice and Bob’s communication channel. When Alice requests Bob’s public key, Mallory changes the $e$ that Bob tries to send her by a single bit. Instead of $(e, n)$, Alice receives $\left(e^{\prime}, n\right)$. When Alice enciphers her message, Mallory lets it pass unchanged to Bob, who is unable to read it. After some confusion, Bob sends his public key to Alice again, since she clearly didn’t use the right values. Alice then sends the message again using $(e, n)$. Mallory may then use the attack described above to read $M .^2$

PATCH: Never resend the same message enciphered two different ways. If you must resend, alter the message first.

数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Attack 2. Man-in-the-Middle

In the attack described above, where a hacker controls the communications, you may well ask why he doesn’t simply keep Bob’s public key and send Alice his own. When Alice encrypts a message, thinking Bob will get it, Mallory can read it using her own key and then re-encipher it with Bob’s key before passing it on. She can even make changes first, if she desires. Similarly, if Bob requests Alice’s key, Mallory can keep it and send Bob another key she has made for herself. In this manner, Mallory has complete control over the exchanges. For obvious reasons, this is known as a man-inthe-middle attack. Studying ways to prevent attacks like these falls under the “protocols” heading of cryptography. We do not pursue this line here, but the reader will find the subject treated nicely by Schneier.

Attack 3. Low Decryption Exponent
In 1990, Michael J. Wiener presented an attack for when the decryption exponent, $d$, is small. ${ }^4$ To be more precise, the attack applies when
$$
q<p<2 q \text { and } d<\frac{\sqrt[4]{n}}{3}
$$
In this case, $d$ may be computed efficiently. To see how this is done, ${ }^5$ we begin with $e d=1$ (mod $\varphi(n))$ and rewrite it as $e d-k \varphi(n)=1$ for some $k$ in the set of integers. We then divide both sides by $d \varphi(n)$ to get
$$
\frac{e}{\varphi(n)}-\frac{k}{d}=\frac{1}{d \varphi(n)}
$$
$\varphi(n) \approx n$, so we have
$$
\frac{e}{\varphi(n)}-\frac{k}{d} \approx\left|\frac{e}{n}-\frac{k}{d}\right|=\left|\frac{e d-k n}{n d}\right|=\left|\frac{e d-k \varphi(n)-k n+k \varphi(n)}{n d}\right|
$$
$\varphi(n)$ is actually a bit smaller than $n$, so we need to introduce absolute value signs following the $\approx$ to be sure the quantity remains positive.

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密码学代写

数学代写|密码学Cryptography Theory代考|A Dozen Non-Factoring Attacks


这种攻击首先由 Gus Simmons (图 15.1) 在1983. 1
想象一下,一条共同的消息被发送給两个拥有相同价值的人 $n$ ,但使用不同的值 $e$. 假设 Eve 拦截了两条加密消 息:
$$
C_1=M^{e_1}(\bmod n) \text { and } C_2=M^{c_2}(\bmod n)
$$
如果 $e_1$ 和 $e_2$ 是互质的,她可能会使用欧几里得算法来找到整数 $x$ 和 $y$ 这样 $x e_1+y e_2=1$. 正好是其中之一 $x$ 和 $y$ 必须为负。假设是 $x$. 然后夏娃计算
$$
\left(C_1^{-1}\right)^{-x} C_2^y=C_1^x C_2^y=\left(M^{e_1}\right)^x\left(M^{e_2}\right)^y=M^{x e_1+j e_2}=M^1=M(\bmod n) .
$$
于是,还没有痊意的夏娃 $d$, 可以得到 $M$.
想象一下恶意黑客 Mallory 控制着 Alice 和 Bob 的通信通道。当 Alice 请求 Bob 的公钥时,Mallory 更改了 $e$ Bob 试图通过一个比特发送给她。代替 $(e, n)$, 爱丽丝收到 $\left(e^{\prime}, n\right)$. 当 Alice 加密她的消息时,Mallory 将其原 封不动地传递给无法读取它的 Bob。经过一些困惑之后,Bob 再次将他的公钥发送给 Alice,因为她显然没有 使用正确的值。然后爱丽丝再次使用 $(e, n)$. Mallory 然后可以使用上述攻击来读取 $M .^2$
PATCH:永远不要重新发送以两种不同方式加密的同一条消息。如果您必须重新发送,请先更改消息。

数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Attack 2. Man-in-theMiddle


在上述攻击中,黑客控制通信,您可能会问他为什么不简单地保留 Bob 的公钥并向 Alice 发送他自己的公钥。 当 Alice 加密消息时,认为 Bob 会得到它,Mallory 可以使用她自己的密钥读取它,然后在传递之前用 Bob 的密钥重新加密它。如果她愿意,她甚至可以先做出改变。同样,如果 Bob 请求 Alice 的密钥,Mallory 可以 保留它并向 Bob 发送她为自己制作的另一把密钥。通过这种方式,Mallory 可以完全控制交易所。由于显而易 见的原因,这被称为中间人攻击。研究防止此类攻击的方法属于密码学的“协议”标题。我们在这里不追究这条 线,但读者会发现 Schneier 很好地处理了这个主题。
攻击 3. 低解密指数
1990 年,Michael J. Wiener 提出了解密指数为 $d$ ,是小。 ${ }^4$ 更准确地说,攻击适用于
$$
q<p<2 q \text { and } d<\frac{\sqrt[4]{n}}{3}
$$
在这种情况下, $d$ 可以有效地计算。要查看这是如何完成的, ${ }^5$ 我们开始 $e d=1($ 反对 $\varphi(n))$ 并将其重写为 $e d-k \varphi(n)=1$ 对于一些 $k$ 在整数集合中。然后我们将两边除以 $d \varphi(n)$ 要得到
$$
\frac{e}{\varphi(n)}-\frac{k}{d}=\frac{1}{d \varphi(n)}
$$
$\varphi(n) \approx n$, 所以我们有
$$
\frac{e}{\varphi(n)}-\frac{k}{d} \approx\left|\frac{e}{n}-\frac{k}{d}\right|=\left|\frac{e d-k n}{n d}\right|=\left|\frac{e d-k \varphi(n)-k n+k \varphi(n)}{n d}\right|
$$
$\varphi(n)$ 实际上比 $n$, 所以我们需要在后面引入绝对值符号 $\approx$ 以确保数量保持正数。

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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