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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH721 The Riemann Integral

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Riemann Integral

Definition 5.3. Let $f:[a, b] \rightarrow \mathbf{F}$ be a function, $P=\left{x_0, \ldots, x_n\right}$ a partition of $[a, b]$, and $\left{c_k\right}_{1 \leq k \leq n}$ a set of elements of $\mathbf{F}$ such that $c_k \in\left[x_{k-1}, x_k\right]$ for each $k=1, \ldots, n$. The sum
$$S_P=\sum_{k=1}^n f\left(c_k\right) \Delta_k$$
is called a Riemann sum for $f$ on $[a, b]$. (Note that the Riemann sum $S_P$ also depends on the choice of elements $c_k$ ‘s.)

A number $J$ is said to be the Riemann integral of $f$ if for every $\varepsilon>0$ there is a $\delta>0$ such that for every partition $P=\left{x_0, \ldots, x_n\right}$ of $[a, b]$ with $|P|<\delta$ and any choice of points $c_k \in\left[x_{k-1}, x_k\right], k=1, \ldots, n$, we have
$$\left|\sum_{k=1}^n f\left(c_k\right) \Delta_k-J\right|<\varepsilon$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of the Riemann Integral

The following theorem establishes the linearity property of the Riemann integral.
Theorem 5.6. Let $f$ and $g$ be Riemann integrable functions on the interval $[a, b] \subseteq$ $\mathbf{F}$ and $k \in \mathbf{F}$ be a constant. Then the functions $k f$ and $f+g$ are Riemann integrable and
$$\int_a^b k f=k \int_a^b f \quad \text { and } \quad \int_a^b(f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g .$$
Proof. The first property obviously holds for $k=0$. Let $k \neq 0, J=\int_a^b f$, and $\varepsilon>0$. There is a positive $\delta$ such that for every partition $P=\left{x_0, \ldots, x_n\right}$ of $[a, b]$ with $|P|<\delta$ and any choice of $c_k \in\left[x_{k-1}, x_k\right], 1 \leq k \leq n$,
$$\left|\sum_{k=1}^n f\left(c_k\right) \Delta_k-J\right|<\frac{\varepsilon}{|k|} \text {. }$$
Hence,
$$\left|\sum_{k=1}^n k f\left(c_k\right) \Delta_k-k J\right|<\varepsilon$$
so $\int_a^b k f=k \int_a^b f$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Riemann Integral

$$S_P=\sum_{k=1}^n f\left(c_k\right) \Delta_k$$

left 缺少或无法识别的分隔符

$c_k \in\left[x_{k-1}, x_k\right], k=1, \ldots, n$ ，我们有
$$\left|\sum_{k=1}^n f\left(c_k\right) \Delta_k-J\right|<\varepsilon$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of the Riemann Integral

$$\int_a^b k f=k \int_a^b f \quad \text { and } \quad \int_a^b(f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g .$$

$$\left|\sum_{k=1}^n f\left(c_k\right) \Delta_k-J\right|<\frac{\varepsilon}{|k|}$$

$$\left|\sum_{k=1}^n k f\left(c_k\right) \Delta_k-k J\right|<\varepsilon$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。