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# 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|MATH96048 Asymptotic distribution of MLE

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## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Asymptotic distribution of MLE

Maximum likelihood estimation not only provides a set of optimal parameter values for $\theta$ but also allows assessment of the variance in the estimates.
Consider the $m \times m$ information matrix $I(\theta)=-\nabla^2 \ell(\theta)$, so
$$I(\theta){i j}=\frac{-\partial^2}{\partial \theta_i \partial \theta_j} \ell(\theta), \quad i, j=1, \ldots, m .$$ Then asymptotically for large samples, $\hat{\theta} \sim \mathrm{N}\left(\theta, I(\theta)^{-1}\right)$. Evaluating $I(\theta)$ by setting the unknown $\theta$ equal to $\hat{\theta}$, giving the observed information matrix, leads to an approximate covariance matrix for $\hat{\theta}$. That is, if $V=I(\hat{\theta})^{-1}$ then its $i j^{\text {th }}$ entry $v{i j}$ is an estimate of the covariance between $\hat{\theta}_i$ and $\hat{\theta}_j$

In particular the standard error of $\hat{\theta}j$ is given by the square root of the $j^{\text {th }}$ diagonal element of $\overline{V \text {, }}$ $$\text { s.e. }\left(\hat{\theta}_j\right) \approx \sqrt{v{j j}}$$

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Functional invariance of MLEs

Another key advantage of $\mathrm{ML}$ estimation is that the MLE of a function of the parameters $g(\theta)$ is simply
$$\widehat{g(\theta)}=g(\hat{\theta})$$
For example, the exponential distribution has mean $E(T)=1 / \lambda$, hence the MLE of $E(T)$ is
$$\widehat{\mathrm{E}(T)}=\frac{1}{\hat{\lambda}}=\frac{1}{r} \sum_{i=1}^n t_i,$$
which is the total time on the study survived by the individuals divided by the number of deaths.

# 生存模型代考

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Asymptotic distribution of MLE

$$I(\theta) i j=\frac{-\partial^2}{\partial \theta_i \partial \theta_j} \ell(\theta), \quad i, j=1, \ldots, m .$$

$$\text { s.e. }\left(\hat{\theta}_j\right) \approx \sqrt{v j j}$$

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|Functional invariance of MLEs

$$\widehat{g(\theta)}=g(\hat{\theta})$$

$$\widehat{\mathrm{E}(T)}=\frac{1}{\hat{\lambda}}=\frac{1}{r} \sum_{i=1}^n t_i$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。