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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH271 The Geometry of the Projective Plane and the Klein Bottle

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology MATH271这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH271 The Geometry of the Projective Plane and the Klein Bottle

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Geometry of the Projective Plane and the Klein Bottle

We now take a small diversion to discuss some interesting properties of the projective plane and the Klein bottle that we introduced in the previous chapter. Recall that these are abstract surfaces that exist in their own right, without reference to an embedding space like $\mathbb{R}^3$, but which nonetheless are locally homeomorphic to open sets in the plane.
The Projective Plane. We start by presenting another way of describing the projective plane. Consider the set of all lines through the origin in $\mathbb{R}^3$. It turns out that we can make a sort of space out of this set (which will turn out to be $\mathbb{R}^2$ ) as follows. Since the origin is on all these lines, and every other point is on exactly one of them, it makes sense to throw out the origin and look at $\mathbb{R}^3 \backslash{(0,0,0)}$. Now we consider two nonzero points $(a, b, c)$ and $\left(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ to be the same if they lie on the same line. Alternatively, we can rephrase this condition by saying that points $(a, b, c)$ and ( $\left.a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ are considered the same if there is some (nonzero) number $\lambda \in \mathbb{R}$ so that $a^{\prime}=\lambda a, b^{\prime}=\lambda b$, and $c^{\prime}=\lambda c$. In this way, each point of $\mathbb{R}^3 \backslash{(0,0,0)}$ is glued to many other points in $\mathbb{R}^3 \backslash{(0,0,0)}$. Now the “space of all lines” that we’re studying becomes $\mathbb{R}^3 \backslash{(0,0,0)}$ but with points glued like this.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Orientable and Nonorientable Surfaces

The Möbius strip, the Klein bottle, and the projective plane are examples of nonorientable surfaces (or nonorientable surfaces with boundary in the former case). In this section, we will define this notion more carefully.

The orientability of a compact surface or surface with boundary will be a boolean topological invariant-either a surface $S$ is orientable or it is nonorientable; and this remains true for the image of $S$ under any homeomorphism. One intuitive way to define this notion is by means of the “number of sides” that a surface embedded in $\mathbb{R}^3$ has. Take any such surface $S$ and pick a point $p \in S$. Let’s assume that $S$ is in fact a very thin three-dimensional shell rather than an idealized, infinitesimally thin, twodimensional membrane. Now pick a side of this shell at $p$ and start painting it blue near $p$. Keep painting such that every new place you paint is physically reachable from a place that you’ve already painted. At some point, you will not be able to reach any unpainted parts of the shell. At this point you ask: have you painted the whole shell? If your shell is spherical and has two distinct sides, the answer is no. If your shell is the Möbius strip and has only one distinct side (boundary edges don’t count) then the answer is yes. No means orientable, and yes means nonorientable!

The previous intuitive definition can actually be made rigorous in the case of surfaces embedded in $\mathbb{R}^3$. It requires a notion of “side,” i.e. for every $p \in S$ there is a neighborhood in $\mathbb{R}^3$ containing $p$ that can be subdivided into two subsets of $\mathbb{R}^3$ which we designate the “interior” and the “exterior” sides. We can encode the sidedness of $S$ by defining a unit normal vector for each $p \in S$. This is a vector of length one that is orthogonal to the tangent plane of $S$ – and note that $S$ must be a smooth surface! The region into which the normal vector points is the “exterior.” Now, $S$ will be called orientable if it is possible to define this normal vector in a consistent and continuous way. More precisely:

Definition 4.6 A smooth, i.e. differentiable, compact surface $S$ with or without boundary embedded in $\mathbb{R}^3$ is said to be orientable if there exists a continuous way to assign a unit normal vector at each $p \in S$. If no such assignment exists, then $S$ is nonorientable.

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拓扑学代写

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我们现在稍微转移一下话题,讨论我们在上一章介绍的射影平面和克莱因瓶的一些有趣性质。回想一下,这些 是独立存在的抽象表面,没有参考像这样的嵌入空间 $\mathbb{R}^3$ ,但仍然局部同肧于平面中的开集。
投影平面。我们首先介绍另一种描述投影平面的方法。考虑通过原点的所有线的集合 $\mathbb{R}^3$. 事实证明我们可以从 这个集合中创造出一种空间 (结果将是 $\mathbb{R}^2$ ) 如下。由于原点在所有这些线上,而其他所有点都恰好在其中一条 线上,因此丟弃原点并查看是有意义的 $\mathbb{R}^3 \backslash(0,0,0)$. 现在我们考虑两个非零点 $(a, b, c)$ 和 $\left(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ 如果它们 位于同一条线上,则相同。或者,我们可以通过说点来重新表述这个条件 $(a, b, c)$ 和 $\left(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ 如果有一些 (非霝) 数字,则被认为是相同的 $\lambda \in \mathbb{R}$ 以便 $a^{\prime}=\lambda a, b^{\prime}=\lambda b$ ,和 $c^{\prime}=\lambda c$. 这样,每个点 $\mathbb{R}^3 \backslash(0,0,0)$ 粘 在许多其他点上 $\mathbb{R}^3 \backslash(0,0,0)$. 现在我们正在研究的“所有线的空间”变成了 $\mathbb{R}^3 \backslash(0,0,0)$ 但是点像这样粘在一 起。

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莫比乌斯带、克莱因瓶和射影平面是不可定向曲面(或前一种情况下带边界的不可定向曲面)的示例。在本节 中,我们将更仔细地定义这个概念。
紧致曲面或有边界曲面的可定向性将是一个布尔拓扑不变量一一要么是一个曲面 $S$ 是可定向的还是不可定向的; 这仍然适用于图像 $S$ 在任何同胚下。定义此概念的一种直观方法是通过嵌入表面的“边数” $\mathbb{R}^3$ 有。采取任何这样 的表面 $S$ 并选择一个点 $p \in S$. 让我们假设 $S$ 实际上是一个非常薄的三維壳,而不是理想化的无限蒲的二维膜。 现在选择这个壳的一侧 $p$ 然后开始把它涂成蓝色 $p$. 继续绘画,这样你画的每个新地方都可以从你已经画过的地方 到达。在某些时候,您将无法触及外壳的任何末上漆部分。这时你问:你画了整个外壳吗? 如果你的壳是球形 的并且有两个不同的边,答穼是否定的。如果你的壳是莫比乌斯带并且只有一个不同的边 (边界边不算) 那么 答案是肯定的。no 表示可定向,yes 表示不可定向!
之前的直观定义实际上可以在表面嵌入的情况下变得严格 $\mathbb{R}^3$. 它需要一个“边”的概念,即对于每个 $p \in S$ 有一个 街区 $\mathbb{R}^3$ 含有 $p$ 可以细分为两个子集 $\mathbb{R}^3$ 我们将其指定为“内部”和“外部”。我们可以编码的边性 $S$ 通过为每个定义 一个单位法向量 $p \in S$. 这是一个长度为 1 的向量,它与的切平面正交 $S$ – 并注意 $S$ 必须是光滑的表面! 法向量 指向的区域是“外部”。现在,S如果可以以一致和连续的方式定义此法向量,则将被称为可定向的。更确切地 说:
定义 4.6 光滑的,即可微的,紧凑的表面 $S$ 有或没有边界嵌入 $\mathbb{R}^3$ 如果存在连续的方式在每个位置分配单位法向 量,则称其为可定向的 $p \in S$. 如果不存在这样的分配,则 $S$ 是不可定向的。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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