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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH393 Free Groups, Generators, and Relations

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology MATH393这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MATH393 Free Groups, Generators, and Relations

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So far, all of our examples of groups have been pretty concrete: we have seen cyclic groups, which can be described in terms of explicit elements, and we have seen groups such as dihedral groups and symmetric groups, which we have interpreted as the symmetries of certain objects. These are important ways of thinking about groups, and many groups naturally arise in this way. However, sometimes we will want to think of groups in a more abstract way: by describing how certain key elements relate to each other.

Let us see how we could have described the dihedral group $D_4$ in such a manner. The first step will be to find several elements in $D_4$ such that every element can be obtained by multiplying these together; such a set of elements will be called a generating set. One possibility is to take all the elements of $D_4$ as a generating set. This is perfectly valid, but it isn’t very efficient. In order to state how all the elements relate to each other, we would need to write down an entire multiplication table, which has 64 entries.

We do better by choosing two elements, which we call $\rho$ and $\sigma$. We let $\rho$ be rotation by $\pi / 2$ in the counterclockwise direction, and we let $\sigma$ be a reflection about the $y$-axis. Every element of $D_4$ can be written as a product of powers of $\rho$ and powers of $\sigma$, possibly with many repetitions. (Exercise: Why?)

However, just specifying that we can build $D_4$ out of products of $\rho$ and $\sigma$ is not enough: that doesn’t tell us, for example, that $\sigma^2$ is the identity. So, we also need to specify certain identities that these two elements satisfy; in this case, the three relations
$$
\begin{aligned}
\sigma^2 & =e, \
\rho^4 & =e, \
\sigma \rho & =\rho^{-1} \sigma
\end{aligned}
$$
are enough to specify all the group behavior. (Exercise: Why do these relations hold?)

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Free Groups and Free Abelian Groups. Some groups have particularly simple presentations, in that we do not need any relations in their presentation. Such groups are called free groups.
Example The group $\mathbb{Z}$ of integers is a free group. Its presentation is
$$
\mathbb{Z}=\langle 1 \mid\rangle
$$
Note that when we specify a free group, we do not put anything after the vertical bar, because there are no relations. In the case of the integers, we can write everything as $n \times 1$, for some $n$. That completely describes the group: we don’t need any further information to cut it down to the right size. Indeed, any relation must take the form $1 \times n=0$ for some $n$, and that is false in $\mathbb{Z}$ for $n \neq 0$.

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拓扑学代写

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到目前为止,我们所有的群例子都非常具体:我们已经看到了循环群,它们可以用显式元素来描述, 我们已经看到了诸如二面体群和对称群之类的群,我们将它们解释为对称性某些对象。这些是思考群 体的重要方式,许多群体自然而然她以这种方式出现。然而,有时我们会想以更抽象的方式来思考群 体:通过描述某些关键元素如何相互关联。
让我们看看如何描述二面角群 $D_4$ 以这样的方式。第一步是在中找到几个元素 $D_4$ 这样每个元素都可以 通过将它们相乘获得; 这样的一组元素将被称为生成集。一种可能生是采用所有元素 $D_4$ 作为发电机 组。这完全有效,但效率不高。为了说明所有元素如何相互关联,我们需要写下完整的乘法表,其中 有 64 个条目。
我们通过选择两个元素做得更好,我们称之为 $\rho$ 和 $\sigma$. 我们让 $\rho$ 轮换 $\pi / 2$ 逆时针方向,我们让 $\sigma 反$ 思 $y$ 轴。每一个元素 $D_4$ 可以写成的莫的产物 $p$ 和权力 $\sigma$ ,可能有很多重复。(练习: 为什么?)
但是,只需指定我们可以构建 $D_4$ 出的产品 $\rho$ 和 $\sigma$ 还不够: 这并没有告诉我们,例如, $\sigma^2$ 是身份。因 此,我们还需要指定这两个元素满足的某些身份; 在这种情况下,三个关系
$$
\sigma^2=e, \rho^4 \quad=e, \sigma \rho=\rho^{-1} \sigma
$$
足以指定所有的群体行为。 (练习: 为什么这些关系成立?)

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自由群和自由阿贝尔群。有些组有特别简单的演示,因为我们不需要在他们的演示中有任何关系。这 样的群称为自由群。
示例 组 $\mathbb{Z}$ 的整数是自由群。它的介绍是
$$
\mathbb{Z}=\langle 1 \mid\rangle
$$
请注意,当我们指定一个自由组时,我们不会在坚线后面放任何东西,因为没有关系。在整数的情况 下,我们可以将所有内容写成 $n \times 1$ ,对于一些 $n$. 这完全描述了这个组: 我们不需要任何进一步的 信息来将它缩小到合适的大小。实际上,任何关系都必须采用以下形式 $1 \times n=0$ 对于一些 $n$ ,这是 错误的 $\mathbb{Z}$ 为了 $n \neq 0$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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