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如果你也在 怎样代写复杂网络Complex Network PCS810这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复杂网络Complex Network在网络理论的背景下,复杂网络是指具有非微观拓扑特征的图(网络)–这些特征在简单的网络(如格子或随机图)中不会出现,但在代表真实系统的网络中经常出现。复杂网络的研究是一个年轻而活跃的科学研究领域(自2000年以来),主要受到现实世界网络的经验发现的启发,如计算机网络、生物网络、技术网络、大脑网络、气候网络和社会网络。

复杂网络Complex Network大多数社会、生物和技术网络显示出实质性的非微观拓扑特征,其元素之间的连接模式既不是纯粹的规则也不是纯粹的随机。这些特征包括学位分布的重尾、高聚类系数、顶点之间的同态性或异态性、社区结构和层次结构。在有向网络的情况下,这些特征还包括互惠性、三联体重要性概况和其他特征。相比之下,过去研究的许多网络的数学模型,如格子和随机图,并没有显示这些特征。最复杂的结构可以由具有中等数量相互作用的网络实现。这与中等概率获得最大信息含量(熵)的事实相对应。

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Inference is generally about drawing conclusions about the whole on the basis of a sample. Statistical inference is ‘the process of deducing properties of an underlying distribution by analysis of data’ (Zdeborová and Krzakala, 2016). More specifically, in statistical mechanics inference usually implies concluding characteristics of a statistical ensemble (or its model, which is practically the same) on the basis of a sample (Clauset, Moore, and Newman, 2006). Here we touch upon a more restricted problem. Consider a branching process taking place on a given graph, which started from some unknown initial vertex, a root. At some instant, an observer makes a snapshot of this process and records its result – a tree subgraph of the substrate graph. The questions are: is it possible to guess the root from this observation; and, when it is possible, what is the best root-finding algorithm? The answers to these questions depend on the branching process and on the substrate graph. Remarkably, root finding is possible for a wide range of branching processes and substrate graphs.

Shah and Zaman (2011) proposed the maximum likelihood estimate of the source for what they called rumour spreading on tree or locally tree-like networks. In fact, by rumour spreading they meant the SI model process, where only the order in which vertices become infected turns out to be significant. When the degrees of vertices of a regular locally tree-like substrate are sufficiently large, this process can be naturally substituted with a recursive growing tree without any substrate, and the problem is reformulated as finding the root of a recursive tree, generated by some model, for example, the random recursive tree, a preferential attachment recursive tree, etc. For the problems of this sort, Shah and Zaman showed that their source estimator, the rumour centrality of a vertex in a resulting tree is effective in a wide range of situations, allowing us to find the source with finite probability even in infinite trees. The rumour centrality of vertex $i$ in a tree $\mathcal{T}$ of $N$ vertices is defined in the following way In particular, the rumour centrality of the top vertex, which is the most probable root, is $R=\frac{9 \text { ! }}{9 \times 4 \times 4 \times 3 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1}=840$. Notice that the vertex with the largest rumour centrality $R$ has the smallest $M$.
R_i \equiv \frac{N !}{\prod_{j \in \mathcal{T}} N_j(i)}
where $N_j(i)$ is the size of the subtree of the tree $\mathcal{T}$, rooted at $j$ and pointing away from $i$. In particular, $N_i(i)=N$ (Figure 13.1). For a given labelled recursive tree $\mathcal{T}$ with a root at vertex $i, R_i$ equals exactly the total number of possible orders of attaching the vertices. One can represent a recursive tree by a string of labels of vertices according to the order of attachment, where the first entry is $i$. Each of these strings is a particular history of a tree started from vertex $i$. Then the rumour centrality $R_i$ gives the number of these strings-histories, which explains the meaning of this metric. The vertex with the largest rumour centrality is supposed to be the source. The fraction $p_i=R_i / \sum_{j=1}^N R_j$ is the proportion of histories started with vertex $i$ among all histories resulting in the observed tree $\mathcal{T}^1$

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In many real-world situations, measurements do not provide accurate or complete information about all vertices and edges of a network. Employed data sets contain errors and omissions. The fundamental problem is how to estimate network structure from available data, that is, to reconstruct a network (Newman, 2018b, 2018a). We touch upon here a special case of this problem. Let the available information about a simple graph of $N$ vertices be incomplete, namely only $E$ of its edges are known certainly. The straightforward way to learn the full structure of this network is to perform $N(N-1) / 2-E$ additional measurements – checks – for the remaining pairs of vertices providing all missing edges. One can however apply a far more efficient approach if the available information is sufficient to guess how this network is organized, in other words, to infer a model fitting the measured structure of a network reasonably well. By using this model, one can obtain the probabilities of connection for the $N(N-1) / 2-E$ remaining pairs of vertices and restrict the additional measurements only to vertex pairs for which this probability is high, exceeding a specified threshold. The number of such pairs is typically small, which ensures the efficacy of the approach.

A somewhat related link-prediction problem for evolving, in particular social, networks was formulated by Liben-Nowell and Kleinberg (2007): ‘Given a snapshot of a social network at time $t$, we seek to accurately predict the edges that will be added to the network during the interval from time $t$ to a given future time $t^{\prime}$.’ In this problem, the model of an evolving network should be inferred from its snapshot, allowing one to find the probabilities of the connections in the near future. Sometimes, however, it appears to be sufficient to know that a network belongs to some class, for example, to social networks, and to use empirical observations collected for these networks. Section 5.3 mentioned Newman’s (2001a) observation that the probability of emergence of an edge between two vertices in a collaboration network increases with the number of their common nearest neighbours. Liben-Nowell and Kleinberg used this number as an edge predictor for ranking the potential future connections and found that it works well for the studied networks of collaborations from the arXiv.

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(Zdeborová 和 Krzakala,2016 年) 。更具体地说,在统计力学中,推断通常意味着基于样本得
出统计集合(或其模型,实际上是相同的) 的结论特征 (Clauset、Moore 和 Newman, 2006
年) 。这里我们触及一个更受限制的问题。考虑在给定图上发生的分支过程,它从某个末知的初始顶
点 (根) 开始。在某个瞬间,观察者对该过程进行快照并记录其结果一一衬底图的树子图。问题是:
是否有可能从这个观察中猜出根源? 并且,在可能的情况下,最好的寻根算法是什么? 这些问题的答 案取决于分支过程和祇底图。值得注意的是,对于广泛的分支过程和底物图,可以找到根。

Shah 和Zaman(2011 年)提出了他们所胃的谣言在树或局部树状网络上传播的来源的最大似然估 计。事实上,他们所说的谣言传播是指 $\mathrm{SI}$ 模型过程,其中只有顶点被感染的顺序被证明是重要的。
替,并且问题被重新表述为寻找由某个模型生成的递归树的根,例如,随机递归树,优先依附递归树 等。对于这类问题,Shah 和Zaman 证明了他们的源估计器,结果树中顶点的谣言中心性在广泛的 范围内有效情况,让我们即使在无限大的树中也能以有限的概率找到源头。顶点的谣言中心性 $i$ 在树 上 $\mathcal{T}$ 的 $N$ 顶点按以下方式定义 特别是,顶部顶点(最可能的根)的谣言中心性是
$R=\frac{9 !}{9 \times 4 \times 4 \times 3 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1}=840$. 注意谣言中心性最大的顶点 $R$ 有最小的 $M$.
R_i \equiv \frac{N !}{\prod_{j \in \mathcal{T}} N_j(i)}
在哪里 $N_j(i)$ 是树的子树的大小 $\mathcal{T}$ ,植根于 $j$ 并指向远离 $i$. 尤其, $N_i(i)=N$ (图 13.1) 。对于给定 的标记递归树 $\mathcal{T}$ 在顶点有一个根 $i, R_i$ 恰好等于附加顶点的可能顺序的总数。可以根据连接顺序用一 串顶点标签表示递归树,其中第一个条目是 $i$. 这些字符串中的每一个都是从顶点开始的树的特定历史 $i$. 然后是谣言中心 $R_i$ 给出了这些字符串历史记录的数量,这解释了这个度量的含义。具有最大谣言 中心性的顶点应该是源。分数 $p_i=R_i / \sum_{j=1}^N R_j$ 是以顶点开始的历史的比例 $i$ 在导致观察到的树的 所有历史中 $\mathcal{T}^1$

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在许多现实世界的情况下,测量并不能提供有关网络所有顶点和边的准确或完整信息。所用数据集有 误有漏。根本问题是如何从可用数据中估计网络结构,即重建网络(Newman,2018b,
2018a)。我们在这里讨论这个问题的一个特例。让有关简单图形的可用信息 $N$ 顶点是不完整的,即 只有 $E$ 它的边缘当然是众所周知的。学习这个网络的完整结构的直接方法是执行 $N(N-1) / 2-E$ 额外的测量一一检查一一剩余的顶点对提供所有缺失的边。然而,如果可用信息足以猜测该网络的组 织方式,换句话说,可以推断出一个模型相当好地拟合网络的测量结构,则可以应用一种更有效的方 法。通过使用该模型,可以获得连接概率 $N(N-1) / 2-E$ 剩余的顶点对,并将额外的测量限制 在这种概率很高的顶点对上,超过指定的阈值。这种对的数量通常很少,这确保了该方法的有效性。

Liben-Nowell 和 Kleinberg(2007 年)制定了一个与进化网络(尤其是社交网络)有点相关的链接预测问题:“给定一个社交网络的快照吨,我们力求准确预测将在时间间隔内添加到网络的边缘吨到给定的未来时间吨′.’ 在这个问题中,进化网络的模型应该从它的快照中推断出来,从而允许人们在不久的将来找到连接的概率。然而,有时候,知道网络属于某个类别(例如社交网络)并使用为这些网络收集的经验观察似乎就足够了。5.3 节提到了 Newman (2001a) 的观察,即协作网络中两个顶点之间出现边的概率随着它们共同最近邻的数量而增加。Liben-Nowell 和 Kleinberg 使用这个数字作为边缘预测器来对潜在的未来连接进行排名,并发现它适用于 arXiv 研究的合作网络。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。


微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。





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