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# 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|SOW-MKI84 Return probability

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## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Return probability

Loosely speaking, in a network with a finite spectral dimension $D_s$, after a time $t$, a random walker browses a region of radius $r(t) \sim \sqrt{t}$ around the initial point of the walk, and so the number of accessible vertices $S(t)$ for a random walk of $t$ moves is ${ }^2$
$$S(t) \sim t^{D_s / 2}$$
The probability of return to the origin at time $t$ in an infinite network is inversely proportional to $S(t)$,
$$P(t) \equiv \frac{1}{N} \sum_i P_i(t) \sim t^{-D_s / 2} \sim \frac{1}{S(t)},$$
where $P_i(t)$ is the probability to find a walker at the initial vertex $i$ at time $t$. According to Eq. (10.16), when $D_s>2$, a random walk is transient,which means that in an infinite network, there is a finite probability that the walk never returns to the initial vertex. If $D_s \leq 2$, then a random walk is recurrent, that is, it surely returns to the initial point.

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Biased random walks

In the unbiased simple random walks on undirected networks discussed, the probability $p_i$ that a walker moves to a nearest neighbour of vertex $i$ with degree $q_i$ is the same for all the neighbours, $p_i=1 / q_i$. In general, a bias assumes that a set of probabilities for moves from neighbouring vertices, say the probability $p_{i j}$ of the move from $i$ to $j$, deviate from $1 / q_i$. This bias can markedly change the random walk (Fronczak and Fronczak, 2009). Let us touch upon one of the versions of biased random walks in which the bias is towards a target vertex. The presence of this bias means that the probability of a move from a vertex in the direction of the target exceeds the probability of a move from this node in the opposite direction, (see Figure 10.2 explaining the notations for the probabilities). ${ }^4$ Sood and Grassberger (2007) explored the interesting case of the exponential bias, that is the ratio of the probabilities was fixed:
$$\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell-1)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell)}=\sqrt{g}=\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell+1)},$$
where $g>1$. This equality assumes that
$$\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell-1)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell+1)}=g .$$

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Return probability

$$S(t) \sim t^{D_s / 2}$$

$$P(t) \equiv \frac{1}{N} \sum_i P_i(t) \sim t^{-D_s / 2} \sim \frac{1}{S(t)},$$

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Biased random walks

$$\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell-1)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell)}=\sqrt{g}=\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell+1)},$$

$$\frac{p(i ; \ell \rightarrow \ell-1)}{p(i ; \ell \rightarrow \ell+1)}=g$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。