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# 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|TSKS33 The Ising model

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## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|The Ising model

The Hamiltonian of the Ising model with pairwise interaction between the neighbouring spins has the form:
$$\mathcal{H}=-\sum_{i0.Since we mainly focus on infinite-dimensional networks with few cycles, let us apply the belief propagation techniques (algorithm) as appropriate in such situations (Mezard and Montanari, 2009). an undirected simple graph (single realization) with the Ising spins on its vertices. For each edge (i, j), let \mu_{j \rightarrow i}\left(S_i\right) and \mu_{i \rightarrow j}\left(S_j\right) be two messages from vertex j to vertex i and from i to j, respectively, having the following meaning. For example, in the message \mu_{j \rightarrow i}\left(S_i\right), vertex j ‘writes’ to vertex i (Figure 12.1): Dear friend, I don’t know either your current state or the local field applied to you, but based on the messages I got from my other friends, I believe that the probability that you are in state S_i equals \mu_{j \rightarrow i}\left(S_i\right) .{ }^1 Clearly,$$
\sum_{S_i= \pm 1} \mu_{j \rightarrow i}\left(S_i\right)=1
$$This techniques is similar to message passing for percolation considered in Section 6.4. Consider ## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Critical phenomena The first study of the Ising model on complex networks was due to Aleksiejuk, Hołyst, and Stauffer (2002) who focused on the Barabási-Albert networks. To treat the Ising model on random networks, using believe propagation, one must average the believe propagation equations and expressions for thermodynamic quantities over a statistical ensemble. Proceeding in this or a similar way, Dorogovtsev, Goltsev, and Mendes (2002a) and Leone, Vázquez, Vespignani, and Zecchina (2002) precisely solved the Ising model on uncorrelated networks and described the critical singularities. Here we consider a far more simple, though approximate, approach based on the annealed network approximation (Bianconi, 2002). { }^6 This approximation, which is actually equivalent to the heterogeneous mean-field theory discussed in Chapter 7, provides correct critical singularities for this problem. Recall that the annealed network mimicking a uniformly random graph with a given degree sequence \left(q_1, q_2, \ldots, q_N\right) is a fully connected graph with its edge weights w_{i j}\left(q_i, q_j\right)=q_i q_j /(N\langle q\rangle), Eq. (4.20). Exchanging J_{i j} \rightarrow J_{i j} w_{i j} in the ferromagnetic Ising model Hamiltonian, Eq. (12.1), we write for the annealed network$$
\mathcal{H}=-\sum_{i<j} J_{i j} \frac{q_i q_j}{N\langle q\rangle} S_i S_j-\sum_i H_i S_i
|mathcal ${H}=-\backslash$ sum_{iO\$。由于我们主要关注具有少量循环的无限维网络，因此让我们应用信 念在这种情况下适当的传播技术（算法）（Mezard 和 Montanari，2009 年）。 顶点上有伊辛自旋的无向简单图（单一实现）。对于每条边$(i, j)$，让$\mu_{j \rightarrow i}\left(S_i\right)$和$\mu_{i \rightarrow j}\left(S_j\right)$是来自 顶点的两条消息$j$到顶点$i$从$i$到$j$, 分别具有以下含义。例如，在消息中$\mu_{j \rightarrow i}\left(S_i\right)$, 顶点$j$写入’到顶点$i$(图 12.1)： 亲爱的朋友，我不知道你现在的状态，也不知道你适用的本地领域，但是根据我从其他朋友那里得到 的消息，我相信你处于状态的概率$S_i$等于$\mu_{j \rightarrow i}\left(S_i\right) .{ }^1$清楚地， $$\sum_{S_i= \pm 1} \mu_{j \rightarrow i}\left(S_i\right)=1$$ 此技术类似于第 6.4 节中考虑的渗透消息传递。考虑 ## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Critical phenomena 复杂网络上 Ising 模型的首次研究归功于专注于 Barabási-Albert 网络的 Aleksiejuk、Hołyst 和 Stauffer (2002)。要处理随机网络上的伊辛模型，使用置信传播，必须在统计系综上平均置信传播 方程和热力学量的表达式。Dorogovtsev、Goltsev 和 Mendes (2002a) 以及 Leone、 Vázquez、Vespignani 和Zecchina (2002) 以这种或类似的方式在不相关网络上精确求解了 Ising 模型并描述了临界奇点。在这里，我们考虑一种更简单但近似的方法，该方法基于退火网络近 似 (Bianconi, 2002)。${ }^6$这个近似实际上等同于第 7 章中讨论的异构平均场理论，为这个问题提供 了正确的临界奇点。 回想一下，退火网络模仿具有给定度数序列的均匀随机图$\left(q_1, q_2, \ldots, q_N\right)$是一个具有边权的全连接 图$w_{i j}\left(q_i, q_j\right)=q_i q_j /(N\langle q\rangle)$，当量。(4.20)。交换$J_{i j} \rightarrow J_{i j} w_{i j}\$ 在铁磁伊辛模型哈密顿量中，
Eq。(12.1)，我们为退火网络写
$$\mathcal{H}=-\sum_{i<j} J_{i j} \frac{q_i q_j}{N\langle q\rangle} S_i S_j-\sum_i H_i S_i$$

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