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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Finite projective planes

Finite projective planes. There’s a simpler definition of a projective plane that can be made axiomatically. It states that two points determine a line, and two lines determine a point. A nondegeneracy axiom is also required that there are at least three points which don’t all lie on the same line (from which it follows that there are at least three lines which don’t all meet at one point). It turns out that this axiomatic definition admits projective planes that don’t derive from fields. We’ll look at the ones that do.

Finite projective planes exist for each finite field. Let $G F\left(p^n\right)$ be a Galois field of $q=p^n$ elements. There will be $q^2$ points on the affine plane $G F\left(p^n\right)^2$ with third coordinate 1 , and $q+1$ points on the line at infinity with third coordinate 0 . So the finite projective plane $G F\left(p^n\right) P^2$ has $q^2+q+1$ points altogether. It has the same number of lines.

These projective planes all have a couple of nice properties. They are all Desarguesian and Pappian, that is, Desargue’s theorem and Pappas’s theorem both hold for these projective planes. These two theorems state that certain configurations of points and lines hold for the projective plane. Desargues developed projective geometry in the 1600s, and one of Pappus’s theorems apply to projective geometry. There are other projective planes that aren’t based on finite fields that aren’t Desarguesian and Pappian.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Projective linear group

Projective linear group $P G L_n(F)$. As we defined projective $n-1$-space over a field $F$ as a quotient of nonzero elements of $n$-space, so too we can define a quotient of $G L_n(F)$ to get the projective linear group $P G L_n(F)$ acting on projective $n-1$-space. Two matrices $A$ and $B$ in $G L_n(F)$ name the same element of $P G L_n(F)$ if each is a multiple of the other, that is, there exists $\lambda \neq 0 \in F$ such that $B=\lambda A$. Then $P G L_n(F)$ acts on $F P^{n-1}$, since $A \mathbf{a}$ and $\lambda A$ a name the same element of $F P^{n-1}$.

If $F$ is a finite field with $q$ elements, then the order of the group $P G L_n(F)$ is the order of $G L(n, F)$ divided by $q-1$, so $\left|P G L_n(F)\right|=\frac{\left(q^n-1\right)\left(q^n-q\right)\left(q^n-q^2\right) \cdots\left(q^n-q^{n-1}\right)}{q-1}$.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Finite projective planes

Desargue定理和Pappas定理都对这些射影平面成立。这两个定理表明点和线的某些 配置适用于射影平面。Desargues 在 1600 年代发展了射影几何，Pappus 的定理之

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