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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH402 Matrix rings and linear groups

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Matrix rings and linear groups

The representation of rings and groups as subrings or subgroups of matrix rings is very helpful for a couple of reasons. One is that matrices describe linear transformations. That means that the elements of the ring or group can be interpreted as geometric transformations. A second is that matrix notation is so very convenient. Usually the coefficients are taken to be elements of a familiar field like $\mathbf{C}, \mathbf{R}$, or $\mathbf{Q}$, but for special purposes the coefficients may be taken in some other integral domain such as $\mathbf{Z}$.

For example, the field complex numbers $\mathbf{C}$ can be represented as a certain subring of $M_2(\mathbf{R})$, the ring of $2 \times 2$ matrices with coefficients in $\mathbf{R}$, and the division ring of quaternions $\mathbf{H}$ can be represented as a certain subring of $M_4(\mathbf{R})$.
Most of our examples have $n$ equal to 2 or 3 and the coefficients are real.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Linear transformations

The ring of $n \times n$ matrices with real coefficients, $M_2(\mathbf{R})$, is a noncommutative ring when $n \geq 2$. We can interpret each matrix $A \in M_2(\mathbf{R})$ as a linear transformation $A: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^n$ where a (column) $n$-vector $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$ is mapped to another $n$-vector
$$A \mathbf{x}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n \ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \ \vdots \ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n \end{array}\right]$$
The identity matrix
$$I=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \ 0 & 1 & \ldots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array}\right]$$
corresponds to the identity transformation $I: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^n$ where $I \mathbf{x}=\mathbf{x}$.
A linear transformation from a vector space to itself is also called a linear operator.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Linear transformations

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。