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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考|MS-E2121 Marked point processes: intensity

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Marked point processes: intensity

Marked point processes: intensity Let $N=\left(T_n, Z_n\right){n \geq 1}$ be a marked point process (see Section 11.1). The $\mathbb{F}$-intensity $\lambda$ of a point process $\left(T_n\right){n \geq 1}$, if exists, is called the $(\mathbb{F}, \mathbb{P})$-intensity, or the $\mathbb{F}$-intensity, or just the intensity, of the marked point process $N$.

Semimartingale: truncation functions and the triple of (predictable) characteristics A truncation function on $\mathbb{R}^d$ is a bounded function $h: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$, with compact support, satisfying $h(x)=x$ in the neighborhood of 0 . The standard truncation function is $h(x)=x \mathbb{1}_{{|x| \leq 1}}$.

Let $X=\left(X^1, \ldots, X^d\right)$ be an $\mathbb{R}^d$-valued semimartingale. Fix the truncation function $h$ and define a process $X(h)$ as
$$X_t(h)=X_t-\sum_{0<s \leq t}\left(\Delta X_s-h\left(\Delta X_s\right)\right), \quad t \geq 0 .$$
The process $X(h)$ is a special semimartingale. Denote its canonical decomposition (see Definition I.4.21 in Jacod and Shiryaev (2003)) as
$$X(h)=X_0+M(h)+B(h),$$
where $M(h)=\left(M^1(h), \ldots, M^d(h)\right)$ and similarly for $B(h)$.

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingales: stochastic integrals

Semimartingales: stochastic integrals Let $X$ be a real-valued semimartingale, and let us denote by $\mathfrak{H}$ the class of real-valued simple processes $H$ such that either $H=Y \mathbb{1}{{0}}, \quad$ where $Y$ is bounded and $\mathcal{F}_0$ is measurable, or $H=Y \mathbb{1}{] r, s]}$, where $r<s, Y$ is bounded, and $\mathcal{F}r$ is measurable. For such processes we define the stochastic integral process $H \cdot S=\int_0 H_t d S_t=$ $\int{(0, \cdot]} H_t d S_t$
$$H \cdot S_t= \begin{cases}0 & \text { if } H=Y \mathbb{1}{{0}} \ Y\left(X{s \wedge t}-X_{r \wedge t}\right) & \text { if } H=Y \mathbb{1}_{] r, s]}\end{cases}$$
The linear map $H \rightsquigarrow H \cdot S$ can be extended from $\mathfrak{H}$ to the class of all processes $H$ that are locally bounded and predictable. The extended map is still denoted $H \rightsquigarrow H \cdot S$ and is called the stochastic integral of $H$ with respect to $X$.

In particular, $H \leadsto H \cdot S$ is well defined for left-continuous adapted processes $H$.

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Marked point processes: intensity

Semimartingale: 截断函数和 (可预测的) 特征的三重截断函数 $\mathbb{R}^d$ 是有界函数 $h: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$, 具有紧凑的支撑, 令人满意 $h(x)=x$ 在 0 附近。标准载断函数是 $h(x)=x \mathbb{1}{|x| \leq 1}$. 让 $X=\left(X^1, \ldots, X^d\right)$ 豆 $\mathbb{R}^d$ – 值半鞅。修复截断功能 $h$ 并定义一个过程 $X(h)$ 作为 $$X_t(h)=X_t-\sum{0<s \leq t}\left(\Delta X_s-h\left(\Delta X_s\right)\right), \quad t \geq 0 .$$

$$X(h)=X_0+M(h)+B(h),$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Semimartingales: stochastic integrals

Semimartingales: 随机积分让 $X$ 是一个实值半鞅，让我们用ク实值简单过程类 $H$ 这样要么 $\measuredangle H=Y 10 ， \quad$ 在哪里 $Y$ 是有界的并 且 $\mathcal{F}0$ 是可测量的，或者 $\left.\left.H=Y 1\right] r, s\right]$ ，在䂙里 $r{r \wedge t}\right) \quad \text { if } H=Y \mathbb{1}_{\mid r, s]}\right.$$线生映射$H \rightsquigarrow H \cdot S$可以从乌到所有进程的类$H$是局部陏界的和可预则的。扩展地图们然表示$H \rightsquigarrow H \cdot S$并被称为随机积分$H$关于$X$. 尤其，$H \rightsquigarrow H \cdot S$对左连续自适应过程有很好的定义$H\$.

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。