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# 物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|PHYS515 The Radial Equation of Motion

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## 物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|The Radial Equation of Motion

The Radial Equation of Motion. Since all of the Schwarzschild metric components depend on $r$, the $r$ component of the geodesic equation is a bit complicated. This is another case where using $-1=\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}=g_{\mu \nu} u^\mu u^\nu$ really pays off. If you substitute in the metric components from equation 10.3 and use the results in equations 10.5 and 10.7, the result (see box 10.2) is that
$$\frac{1}{2}\left(e^2-1\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{d r}{d \tau}\right)^2-\frac{G M}{r}+\frac{\ell^2}{2 r^2}-\frac{G M \ell^2}{r^3} \equiv \tilde{E}$$

We can interpret this as being structurally equivalent to a conservation-of-energy equation, with $\tilde{K} \equiv \frac{1}{2}(d r / d \tau)^2$ serving as an effective “radial kinetic energy per unit mass,” $\tilde{E}$ as an effective conserved “energy per unit mass,” and
$$\tilde{V}(r) \equiv-\frac{G M}{r}+\frac{\ell^2}{2 r^2}-\frac{G M \ell^2}{r^3}$$
as an effective “potential energy per unit mass” that depends only on $r$. With these definitions, equation 10.8 becomes simply $\tilde{E}=\tilde{K}+\tilde{V}(r)$.

## 物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|Graphical Interpretation of the Possible Orbits

Graphical Interpretation of the Possible Orbits. Figure 10.1 shows graphs of the effective potential-energy-per-unit-mass curves for the Schwarzschild and Newtonian cases. One can read these graphs to determine characteristics of the possible trajectories much the way that one interprets potential energy graphs for one-dimensional motion in ordinary mechanics. For both cases:

• $\tilde{K}=0$ where $\tilde{E}=\tilde{V}(r)$ : such points are “turning points” where outgoing radial motion becomes ingoing motion and vice versa.
• $\tilde{E}<0$ orbits correspond to bound orbits (ellipses in the Newtonian case) that have maximal and minimal radial coordinates [at radii where $\tilde{E}=\tilde{V}(r)$ ].
• $\tilde{E}>0$ orbits correspond to unbound orbits (hyperbolas in the Newtonian case).
• Radii where $d \tilde{V} / d r=0$ are possible circular-orbit radii (see box 10.4).

## 物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|The Radial Equation of Motion

$$\frac{1}{2}\left(e^2-1\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{d r}{d \tau}\right)^2-\frac{G M}{r}+\frac{\ell^2}{2 r^2}-\frac{G M \ell^2}{r^3} \equiv \tilde{E}$$

$$\tilde{V}(r) \equiv-\frac{G M}{r}+\frac{\ell^2}{2 r^2}-\frac{G M \ell^2}{r^3}$$

## 物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|Graphical Interpretation of the Possible Orbits

• $\tilde{K}=0$ 在哪里 $\tilde{E}=\tilde{V}(r)$ ：这些点是“转折点”，向外的径向运动变成向内的运动，反之亦然。
• $\tilde{E}<0$ 轨道对应于具有最大和最小径向坐标的束缚轨道 (牛顿情况下的椭圆) [在半径处 $\tilde{E}=\tilde{V}(r)$ ].
• $\tilde{E}>0$ 轨道对应于无束缚轨道 (牛顿情况下的双曲线)。
• 半径在哪里 $d \tilde{V} / d r=0$ 是可能的圆轨道半径 (见方框 10.4) 。

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