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# 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|EECS559 ǫ-risk

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|ǫ-risk

$\mathbf{2}^o$. $\epsilon$-risk. In Proposition 4.16, we are speaking about $|\cdot|$-risk of an estimate – the maximal, over signals $x \in \mathcal{X}$, expected norm $|\cdot|$ of the error of recovering $B x$; what we need to prove is that the minimax optimal risk $\operatorname{RiskOpt}{\Pi,|\cdot|}[\mathcal{X}]$ as given by (4.53) can be lower-bounded by a quantity “of order of” Opt. To this end, of course, it suffices to build such a lower bound for the quantity $$\operatorname{RiskOpt}{|\cdot|}:=\inf {\widehat{x}(\cdot)}\left[\sup {x \in \mathcal{X}} \mathbf{E}{\xi \sim \mathcal{N}\left(0, Q\right)}{|B x-\widehat{x}(A x+\xi)|}\right],$$ since this quantity is a lower bound on $\operatorname{RiskOpt}{\Pi,|\cdot| \cdot}$. Technically, it is more convenient to work with the $\epsilon$-risk defined in terms of “|. $|$-confidence intervals” rather than in terms of the expected norm of the error. Specifically, in the sequel we will heavily use the minimax $\epsilon$-risk defined as $$\operatorname{RiskOpt}\epsilon=\inf {\widehat{x}, \rho}\left{\rho: \operatorname{Prob}{\xi \sim \mathcal{N}\left(0, Q_\right)}{|B x-\widehat{x}(A x+\xi)|>\rho} \leq \epsilon \forall x \in \mathcal{X}\right},$$
where $\widehat{x}$ in the infimum runs through the set of all Borel estimates. When $\epsilon \in(0,1)$ is once and forever fixed (in the sequel, we use $\epsilon=\frac{1}{8}$ ) we can use $\epsilon$-risk to lowerbound $\operatorname{RiskOpt}{|\cdot|}$, since by evident reasons $$\operatorname{RiskOpt}{|\cdot|} \geq \epsilon \cdot \operatorname{RiskOpt}_\epsilon$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Let H be an m × ν matrix

Let $H$ be an $m \times \nu$ matrix. Applying Lemma 4.17 to $N=m, Y=\bar{H}, Q=Q_$, we get from $(4.59)$ $$\operatorname{Prob}{\xi \sim \mathcal{N}\left(0, Q\right)}\left{\left|\bar{H}^T \xi\right| \geq[4 \varkappa]^{-1} \bar{\Psi}(\bar{H})\right} \geq \beta_{\varkappa} \forall \varkappa \geq 1$$
where $\bar{\Psi}(H)$ is defined by (4.156). Similarly, applying Lemma 4.17 to $N=n$, $Y=\left(B-\bar{H}^T A\right)^T, Q=W$, we obtain
$$\operatorname{Prob}{\eta \sim \mathcal{N}(0, W)}\left{\left|\left(B-\bar{H}^T A\right) \eta\right| \geq[4 \varkappa]^{-1} \bar{\Phi}(W, \bar{H})\right} \geq \beta{\varkappa} \forall \kappa \geq 1$$
where
\begin{aligned} \bar{\Phi}(W, H)= & \min {\Upsilon=\left{\Upsilon{\ell}, \ell \leq L\right}, \Theta}\left{\operatorname{Tr}(W \Theta)+\phi_{\mathcal{R}}(\lambda[\Upsilon]): \Upsilon_{\ell} \succeq 0 \forall \ell\right. \ & {\left.\left[\begin{array}{c|c} \Theta & \frac{1}{2}\left[B^T-A^T H\right] M \ \hline \frac{1}{2} M^T\left[B-H^T A\right] & \sum_{\ell} \mathcal{S}{\ell}^*\left[\Upsilon{\ell}\right] \end{array}\right] \succeq 0\right} . } \end{aligned}

## 数学代写|优代代写Convex Optimization代考|0-risk

$2^o . \epsilon$-风险。在命题 4.16 中，我们谈到||·|-估计的风险一一最大的信号 $x \in \mathcal{X}$, 预期范数|·|恢复的错 误 $B x$; 我们需要证明的是极小极大最优风险RiskOpt $\Pi,|\cdot|[\mathcal{X}]$ 如 (4.53) 给出的，可以下限为 “Opt.”的数量“顺序”。为此，当然，为数量建立这样一个下界就足够了
$$\operatorname{RiskOpt}|\cdot|:=\inf \widehat{x}(\cdot)[\sup x \in \mathcal{X} \mathbf{E} \xi \sim \mathcal{N}(0, Q)|B x-\widehat{x}(A x+\xi)|],$$

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$$\operatorname{RiskOpt}|\cdot| \geq \epsilon \cdot \operatorname{RiskOpt}_\epsilon$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Let $\mathrm{H}$ be an $\mathrm{m}$ $x \mathrm{v}$ matrix

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。