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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|EECS559 Lagrangian Relaxation

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lagrangian Relaxation

This approach is based on the following fundamental Minimax Principle.

Theorem 1.3.1 Let the function $F(x, \lambda)$ be defined for $x \in Q_1 \subseteq \mathbb{R}^n$ and $\lambda \in$ $Q_2 \subseteq \mathbb{R}^m$, where both $Q_1$ and $Q_2$ are nonempty. Then,
$$\sup {\lambda \in Q_2} \inf {x \in Q_1} F(x, \lambda) \leq \inf {x \in Q_1} \sup {\lambda \in Q_2} F(x, \lambda) .$$
Proof Indeed, for arbitrary $x \in Q_1$ and $\lambda \in Q_2$, we have
$$F(x, \lambda) \leq \sup {\xi \in Q_2} F(x, \xi) .$$ Since this inequality is valid for all $x \in Q_1$, we conclude that $$\inf {x \in Q_1} F(x, \lambda) \leq \inf {x \in Q_1} \sup {\xi \in Q_2} F(x, \xi) .$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Penalty Functions

Definition 1.3.1 A continuous function $\Phi(\cdot)$ is called a penalty function for a closed set $\mathscr{F} \subset \mathbb{R}^n$ if

$\Phi(x)=0$ for any $x \in \mathscr{F}$,

$\Phi(x)>0$ for any $x \notin \mathscr{F}$.
Sometimes, a penalty function is called just a penalty for the set $\mathscr{F}$. The main property of penalty functions is as follows.
If $\Phi_1(\cdot)$ is a penalty for $\mathscr{F}_1$ and $\Phi_2(\cdot)$ is a penalty for $\mathscr{F}_2$, then $\Phi_1(\cdot)+\Phi_2(\cdot)$ is a penalty for the intersection $\mathscr{F}_1 \cap \mathscr{F}_2$.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lagrangian Relaxation

$$\sup \lambda \in Q_2 \inf x \in Q_1 F(x, \lambda) \leq \inf x \in Q_1 \sup \lambda \in Q_2 F(x, \lambda)$$

$$F(x, \lambda) \leq \sup \xi \in Q_2 F(x, \xi)$$

$$\inf x \in Q_1 F(x, \lambda) \leq \inf x \in Q_1 \sup \xi \in Q_2 F(x, \xi)$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Penalty Functions

$\Phi(x)=0$ 对于任何 $x \in \mathscr{F}$ ，
$\Phi(x)>0$ 对于任何 $x \notin \mathscr{F}$.

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。