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# 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|IE3078 Classes of Differentiable Functions

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It is well known that any continuous function can be approximated by a smooth function with arbitrarily small accuracy. Therefore, assuming only differentiability of the objective function, we cannot ensure any reasonable properties of minimization processes. For that, we need to impose some additional assumptions on the magnitude of some derivatives. Traditionally, in Optimization such assumptions are presented in the form of a Lipschitz condition for a derivative of certain degree.
Let $Q$ be a subset of $\mathbb{R}^n$. We denote by $C_L^{k, p}(Q)$ the class of functions with the following properties:

• any $f \in C_L^{k, p}(Q)$ is $k$ times continuously differentiable on $Q$.
• Its $p$ th derivative is Lipschitz continuous on $Q$ with constant $L$ :
$$\left|\nabla^p f(x)-\nabla^p f(y)\right| \leq L|x-y|$$
for all $x, y \in Q$. In this book, we usually work with $p=1$ and $p=2$.

Now we are ready to sudy the rate of convergence of unconstrained minimization schemes. Let us start with the simplest method. As we have already seen, the antigradient is the direction of locally steepest descent of a differentiable function. Since we are going to find a local minimum, the following strategy is the first to be tried.
\begin{tabular}{|l|}
Choose $x_0 \in \mathbb{R}^n$. \
Iterate $x_{k+1}=x_k-h_k \nabla f\left(x_k\right), k=0,1, \ldots$ \
\hline
\end{tabular}
We will refer to this scheme as the Gradient Method. The scalar factors for the gradients, $h_k$, are called the step sizes. Of course, they must be positive.

There are many variants of this method, which differ one from another by the step-size strategy. Let us consider the most important examples.

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• 任何 $f \in C_L^{k, p}(Q)$ 是 $k$ 时间连续可微 $Q$.
• 它是 $p$ th 导数是 Lipschitz 连续的 $Q$ 与常数 $L$ :
$$\left|\nabla^p f(x)-\nabla^p f(y)\right| \leq L|x-y|$$
对全部 $x, y \in Q$. 在本书中，我们通常使用 $p=1$ 和 $p=2$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。