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数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CMSC456 Pollard’s $p-1$ Algorithm

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密码学Cryptography Theory 在现代很大程度上是基于数学理论和计算机科学实践的;密码学算法是围绕计算硬度假设设计的,这使得这种算法在实际操作中很难被任何对手破解。虽然在理论上有可能破解一个设计良好的系统,但在实际操作中这样做是不可行的。因此,这种方案,如果设计得好,被称为 “计算安全”;理论上的进步(例如,整数分解算法的改进)和更快的计算技术要求这些设计被不断地重新评估,如果有必要的话,要进行调整。信息理论上的安全方案,即使有无限的计算能力也无法被破解,如一次性密码键盘,在实践中比理论上可被破解但计算上安全的最佳方案更难使用。

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数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CMSC456 Pollard’s $p-1$ Algorithm

数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Pollard’s $p-1$ Algorithm

Recall Fermat’s Little Theorem:
If $p$ is a prime and $a$ is not a multiple of $p$, then $a^{p-1}=1(\bmod p)$.
So, if $m$ is a multiple of $p-1$, then $a^m=1(\bmod p)$. In other words, $p$ divides $a^m-1$. So, $\operatorname{gcd}\left(a^m-1, n\right)$, where $a^m-1$ is first reduced $\bmod n$, might reveal a factorization of $n$, because $p$ divides both $a^m-1$ and $n$.

But how can we find a multiple $m>1$ of $p-1$ ? Well, we hope that $p-1$ is $B$-smooth (i.e., all prime factors of $p-1$ are less than $B)^{22}$ for some small $B$. We let $m$ be defined as the product of all primes $q$ less than $B$. Just as a capital sigma denotes a summation, a capital pi denotes a product. We have
$$
m=\prod_{q \leq B} q \quad q \text { prime }
$$

数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Dixon’s Algorithm

John D. Dixon’s (Figure 15.7) algorithm has its roots in Fermat’s method of factorization. Rather than insist on finding $x$ and $y$ such $x^2-y^2=n$, in order to factor $n$, we could content ourselves with an $x$ and $y$ such that $x^2-y^2=k n$. This may also be expressed as $x^2=y^2(\bmod n)$. So, if we can find two squares, $x^2$ and $y^2$, that are equal modulo $n$, we may have a factorization given by $(x-y)(x+y)$. It’s only “may,” because this broadening of Fermat’s method allows the possibility that $(x-y)=k$ and $(x+y)=n$. This idea goes back to Maurice Kraitchik in the 1920 s. $^{25}$
We can find potential $x$ and $y$ values quicker by not insisting that $y$ be a perfect square.
$$
20^2=3^2(\bmod 391) \Rightarrow 20^2-3^2=391 \text { (from the Fermat example) }
$$
But, if this didn’t work we could investigate further:
$$
\begin{aligned}
& 21^2=50=(2)(5)^2(\bmod 391) \
& 22^2=93=(3)(31)(\bmod 391) \
& 23^2=138=(2)(3)(23)(\bmod 391) \
& 24^2=185=(5)(537)(\bmod 391) \
& 25^2=234=(2)(117)(\bmod 391) \
& 26^2=285=(5)(57)(\bmod 391) \
& 27^2=338=(2)(13)^2(\bmod 391) \
& 28^2=2=(2)(\bmod 391)
\end{aligned}
$$

数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|CMSC456 Pollard’s $p-1$ Algorithm

密码学代写

数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Pollard’s $p-1$ 算法


回忆一下费马小定理:
如果 $p$ 是素数且 $a$ 不是的倍数 $p$ ,然后 $a^{p-1}=1(\bmod p)$. 以, $\operatorname{gcd}\left(a^m-1, n\right)$ ,在哪里 $a^m-1$ 首先减少 $\bmod n$, 可能会揭示因式分解 $n$ ,因 为 $p$ 将两者分开 $a^m-1$ 和 $n$.
但是我们怎样才能找到一个倍数 $m>1$ 的 $p-1$ ? 好吧,我们希望 $p-1$ 是 $B$ – 平滑 (即,所有主要因素 $p-1$ 小于 $B$ ) 22 对于一些小 $B$. 我们让 $m$ 被定义为所有素数的乘积 $q$ 少于 $B$. 正如大写的 sigma 表示求和,大写的 $\mathrm{pi}$ 表示乘积。我们有
$$
m=\prod_{q \leq B} q \quad q \text { prime }
$$

数学代写|密码学Cryptography Theory代考|Dixon’s Algorithm


John D. Dixon (图 15.7) 的算法源于费马的因式分解方法。而不是坚持寻找 $x$ 和 $y$ 这样 的 $x^2-y^2=n$, 为了考虑 $n$ ,我们可以满足于 $x$ 和 $y$ 这样 $x^2-y^2=k n$. 这也可以表示 为 $x^2=y^2(\bmod n)$. 所以,如果我们能贱到两个正方形, $x^2$ 和 $y^2$ ,是相等的模数 $n$, 我 们可能有一个因式分解 $(x-y)(x+y)$. 它只是“可能”,因为费马方法的这种扩展允许 这样的可能性 $(x-y)=k$ 和 $(x+y)=n$. 这个想法可以追溯到 20 年代的 Maurice Kraitchik。25
我们可以找到潜力 $x$ 和 $y$ 不坚持,价值更快 $y$ 成为一个完美的正方形。
$20^2=3^2(\bmod 391) \Rightarrow 20^2-3^2=391$ (from the Fermat example)
但是,如果这不起作用,我们可以进一步调查:
$21^2=50=(2)(5)^2(\bmod 391) \quad 22^2=93=(3)(31)(\bmod 391) 23^2=138=(2)(3)(23)(\bmod 391)$

数学代写|密码学代写Cryptography代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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