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统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|STAT6510 PROPERTIES OF THE HORVITZeTHOMPSON ESTIMATOR

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The HTE of the finite population total $Y$ is
$$\widehat{Y}{h t}=\sum{i \in s} y_i / \pi_i$$
where, $\sum_{i \in s}$ denotes sum over distinct units in $s$ and $\pi_i>0 \forall i=1, \ldots, N$.
The HTE is widely used in survey sampling theory because it possesses some important properties. The properties are presented in this section.
Theorem 2.4.1
Let $I_{s i}=1$ for $i \in s$ and $I_{s i}=0$ for $i \notin s$. Then,
(i) $E_p\left(I_{s i}\right)=\pi_i$, (ii) $V_p\left(I_{s i}\right)=\pi_i\left(1-\pi_i\right)$, and (iii) $C_p\left(I_{s i} I_{s j}\right)=-\Delta_{i j}$ for $i \neq j$. where $C_p$ is the covariance operator with respect to the sampling design $p$ and $\Delta_{i j}=\pi_i \pi_j-\pi_{i j}$.

Proof
\text { (i) } \begin{aligned} E_p\left(I_{s i}\right) & =\sum_s I_{s i} p(s) \ & =\pi_i \end{aligned}
\begin{aligned} V_p\left(I_{s i}\right) & =E_p\left(I_{s i}\right)^2-\pi_i^2 \ & =E_p\left(I_{s i}\right)-\pi_i^2 \ & =\pi_i\left(1-\pi_i\right) \end{aligned}
(ii)
and
\text { (iii) } \begin{aligned} C_p\left(I_{s i}, I_{s j}\right) & =E_p\left(I_{s i} I_{s j}\right)-E_p\left(I_{s i}\right) E_p\left(I_{s j}\right) \ & =\sum_s I_{s i} I_{s i} p(s)-\pi_i \pi_j \ & =\pi_{i j}-\pi_i \pi_j \ & =-\Delta_{i j} \end{aligned}

统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|NONEXISTENCE THEOREMS

We will call the collection of the estimators $t=\sum_{i \in s} b_{s i} Y_i$, whose coefficients $b_{s i}$ ‘s satisfy the unbiasedness condition (2.3.7) as the class of linear homogeneous unbiased estimator $C_{l h}$. The class of the linear unbiased estimators $C_l$ comprises estimators (2.3.1) and is subject to (2.3.6). The class of all possible unbiased estimators, which includes linear, linear homogeneous, and nonlinear estimators, will be denoted by $C_u$ and clearly, $C_u \supset C_l \supset C_{l h}$.

In Section 2.2, it is shown that for a given sampling design $p$ we can construct numerous linear unbiased estimators for a finite population total $Y$. Therefore, we need to select the best estimator in the sense of having uniformly minimum variance. Godambe (1955) proved that in the class of linear homogeneous unbiased estimators $C_{l h}$, the UMVUE does not exist, i.e., none of the estimators can be termed as the best. Hanurav (1966) modified Godambe’s result and showed the existence of the UMVUE for a unicluster sampling design (defined in the section next). Basu (1971) generalized the result further and proved the nonexistence of the UMVUE in the class of all unbiased estimators $C_u$. Godambe (1955) showed that the HTE is the UMVUE in the reduced subspace $R_0$ of the parameter space $R^N$, where $R_0=\bigcup_{i=1}^N \mathbf{y}^{(i)}$ and $\mathbf{y}^{(i)}=$ vector $\mathbf{y}$, whose ith coordinate $y_i$ is nonzero and the remaining coordinates are zeros.

抽样调查代写

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$\$ \$$\backslash widehat {\mathrm{Y}}{h t}=\mid \operatorname{sum}{\mathrm{i} \backslash in \mathrm{s}} \mathrm{y}{-} \mathrm{i} / \backslash \mathrm{pi}{-} \mathrm{i} \ \$$

HTE 在调查抽样理论中得到广泛应用，因为它具有一些重要的性质。这些属性在本节中介绍。

(一) $E_p\left(I_{s i}\right)=\pi_{i r}\left(\right.$ 二) $V_p\left(I_{s i}\right)=\pi_i\left(1-\pi_i\right)$, 和 (iii) $C_p\left(I_{s i} I_{s j}\right)=-\Delta_{i j}$ 为了 $i \neq j$. 在哪里 $C_p$ 是关于 抽样设计的协方差算子 $p$ 和 $\Delta_{i j}=\pi_i \pi_j-\pi_{i j}$.

(i) $E_p\left(I_{s i}\right)=\sum_s I_{s i} p(s) \quad=\pi_i$
$$V_p\left(I_{s i}\right)=E_p\left(I_{s i}\right)^2-\pi_i^2 \quad=E_p\left(I_{s i}\right)-\pi_i^2=\pi_i\left(1-\pi_i\right)$$
(ii)

(iii) $C_p\left(I_{s i}, I_{s j}\right)=E_p\left(I_{s i} I_{s j}\right)-E_p\left(I_{s i}\right) E_p\left(I_{s j}\right) \quad=\sum_s I_{s i} I_{s i} p(s)-\pi_i \pi_j=\pi_{i j}-\pi_i \pi_j \quad=-\Delta_{i j}$

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MATLAB代写

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