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# 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|MATH522 Find the Laplace transform of the following functions

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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Find the Laplace transform of the following functions

Find the Laplace transform of the following functions:
a. $f(t)=9 t^2-7$.
$$\mathcal{L}\left[9 t^2-7\right]=\frac{18}{s^3}-\frac{7}{s}$$
b. $f(t)=e^{5 t-3}$.
$$\mathcal{L}\left[e^{5 t-3}\right]=\frac{e^{-3}}{s-5}$$
c. $f(t)=\cos 7 t$.
$$\mathcal{L}[\cos 7 t]=\frac{s}{s^2+49}$$
d. $f(t)=e^{4 t} \sin 2 t$.
One can use the First Shift Theorem plus $\mathcal{L}[\sin 2 t]=\frac{2}{s^2+4}$ to obtain
$$\mathcal{L}\left[e^{4 t} \sin 2 t\right]=\frac{2}{(s-4)^2+4}=\frac{2}{s^2-8 s+20} .$$
e. $f(t)=e^{2 t}(t+\cosh t)$.

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The second term

The second term, $\mathcal{L}\left[t e^{2 t} \cos 3 t\right]$, take a little more effort. Looking up only properties and the transform of the cosine, we would need the First Shift Theorem because of the exponential factor and
$$\mathcal{L}[t f(t)]=-\frac{d}{d s} F(s)$$
because of the $t$ factor. Here, we have
$$F(s)=\mathcal{L}\left[e^{2 t} \cos 3 t\right]=\frac{s-2}{(s-2)^2+9}=\frac{s-2}{s^2-4 s+13} .$$
Therefore,
\begin{aligned} \mathcal{L}[t f(t)] & =-\frac{d}{d s}\left[\frac{s-2}{s^2-4 s+13}\right] \ & =\frac{s^2-4 s+13-(s-2)(2 s-4)}{\left(s^2-4 s+13\right)^2} \ & =\frac{s^2-4 s-5}{\left(s^2-4 s+13\right)^2} . \end{aligned}

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Find the Laplace transform of the following functions

a. $f(t)=9 t^2-7$
$$\mathcal{L}\left[9 t^2-7\right]=\frac{18}{s^3}-\frac{7}{s}$$
b. $f(t)=e^{5 t-3}$
$$\mathcal{L}\left[e^{5 t-3}\right]=\frac{e^{-3}}{s-5}$$
C. $f(t)=\cos 7 t$
$$\mathcal{L}[\cos 7 t]=\frac{s}{s^2+49}$$
d. $f(t)=e^{4 t} \sin 2 t$.

$$\mathcal{L}\left[e^{4 t} \sin 2 t\right]=\frac{2}{(s-4)^2+4}=\frac{2}{s^2-8 s+20}$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The second term

$$\mathcal{L}[t f(t)]=-\frac{d}{d s} F(s)$$

$$F(s)=\mathcal{L}\left[e^{2 t} \cos 3 t\right]=\frac{s-2}{(s-2)^2+9}=\frac{s-2}{s^2-4 s+13} .$$

$$\mathcal{L}[t f(t)]=-\frac{d}{d s}\left[\frac{s-2}{s^2-4 s+13}\right] \quad=\frac{s^2-4 s+13-(s-2)(2 s-4)}{\left(s^2-4 s+13\right)^2}=\frac{s^2-4 s-5}{\left(s^2-4 s+13\right)^2} .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。