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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|Math323 Convergence and Absolute Convergence

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Convergence and Absolute Convergence

Theorem 5.3.1 (Abel’s theorem) ${ }^1$ If the power series $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$ converges at a point $x_0 \neq c$, then it converges absolutely at every $x$ with $|x-c|<\left|x_0-c\right|$.

Proof Suppose $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$ converges at a point $x_0 \neq c$. Let $x$ be such that $|x-c|<\left|x_0-c\right|$. Then, we have $$\left|a_n(x-c)^n\right|=\left|a_n\left(x_0-c\right)^n\right|\left|\frac{x-c}{x_0-c}\right|^n \quad \forall n \in \mathbb{N}0 .$$ Since $\sum{n=0}^{\infty} a_n\left(x_0-c\right)^n$ converges, $\left|a_n\left(x_0-c\right)^n\right| \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$. Hence, there exists $M>0$ such that $\left|a_n\left(x_0-c\right)^n\right| \leq M$ for all $n \in \mathbb{N}_0$, so that we have
$$\left|a_n(x-c)^n\right| \leq M\left|\frac{x-c}{x_0-c}\right|^n \quad \forall n \in \mathbb{N}_0$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Term by Term Differentiation and Integration

In this subsection, we shall consider, without loss of generality, that a power series is of the form $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ with domain of convergence and radius of convergence are $D$ and $R$, respectively. Let
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \quad x \in D .$$
Now, we address the following questions on the power series $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$.

1. Is $f$ continuous on $D$ ?
2. Is $f$ integrable on every interval $[a, b] \subseteq D$ ?
3. If $f$ is integrable on $[a, b] \subseteq D$, then do we have the equality
$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_a^b x^n \mathrm{~d} x ?$$
4. Is $f$ differentiable on $(-R, R)$ ?
5. If $f$ is differentiable on $(-R, R)$, and if $g=f^{\prime}$, then do we have the equality
$$g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \text { on }(-R, R) ?$$
We show that the answers to all the above questions are in the affirmative. In this regard the following theorem is very crucial.

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Convergence and Absolute Convergence

$$\left|a_n(x-c)^n\right| \leq M\left|\frac{x-c}{x_0-c}\right|^n \quad \forall n \in \mathbb{N}_0$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Term by Term Differentiation and Integration

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \quad x \in D .$$

1. 是 $f$ 连续上 $D$ ?
2. 是 $f$ 在每个区间上可积 $[a, b] \subseteq D$ ?
3. 如果 $f$ 可积于 $[a, b] \subseteq D$ ，那么我们是否有平等
$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \int_a^b x^n \mathrm{~d} x ?$$
4. 是 $f$ 可微 $(-R, R)$ ?
5. 如果 $f$ 可微分于 $(-R, R)$ ，而如果 $g=f^{\prime}$ ，那么我们是否有平等
$$g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} \text { on }(-R, R) ?$$
我们证明以上所有问题的答案都是肯定的。在这方面，下面的定理是非常关键的。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。