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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|MATH7400 Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

Recall that an open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$ is connected if
$$A_1, A_2 \text { open subsets of } \mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A$$
force one of $A_1, A_2$ to be empty.
The following result is about functions with null partial derivatives on a connected subset of $\mathbb{R}^n$, and generalises the analogous simple fact in one variable, where a derivative is zero on some interval.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Functions with Zero Gradient

Functions with Zero Gradient If a function $f$ has zero gradient at all points in a connected open set $A \subseteq \mathbb{R}^n$, then $f$ is constant on $A$.

Proof By assumption all partial derivatives are zero on $A$, so the derivatives are continuous and $f$ is differentiable on $A$. Fix $x_0 \in A$ and define the set
$$A_1=\left{x \in A: \quad f(x)=f\left(x_0\right)\right}$$
Clearly $A=A_1 \cup A_2$, where
$$A_2=\left{x \in A: \quad f(x) \neq f\left(x_0\right)\right}$$
Being differentiable, $f$ is continuous on $A$, so the set $A_2$ is open. Let us show $A_1$ is open as well. Take $x_1 \in A_1$ (so $f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)$ ) and let $I_\delta$ be an open ball, centred at $x_1$ with radius $\delta$, contained in $A$. We claim that $I_\delta \subseteq A_1$, i.e. $f(x)=f\left(x_0\right)=f\left(x_1\right)$ for any $x \in I_\delta$.

## 数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Functions with Vanishing Gradient on Connected Sets

$A_1, A_2$ open subsets of $\mathbb{R}^n, \quad A_1 \cap A_2=\emptyset, \quad A_1 \cup A_2=A$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Functions with Zero Gradient

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。