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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|MA26600 Necessity of the condition

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Necessity of the condition

I. Necessity of the condition. There is no loss in assuming that $\left.f\right|U \in C^\omega(U) \cap$ $L^{\infty}(U)$ and, as a matter of fact, that $f$ vanishes identically in $\mathbb{R}^n \backslash U$. Let then $V \subset \subset U$ be an open set (in $\mathbb{R}^n$ ) such that $x^{\circ} \in V$; and let $\psi \in C{\mathrm{c}}^{\infty}(U), 0 \leq \psi \leq 1, \psi(x)=1$ for all $x \in V$. We select $\delta>0$ sufficiently small that $f$ extends as a holomorphic function in the set $V^{\mathbb{C}}=\left{z \in \mathbb{C}^n\right.$; $\left.\operatorname{dist}(z, \operatorname{supp} \psi)<\delta\right}$. In the integral on the right in (7.3.20) we can deform the domain of integration from $\mathbb{R}^n$ to the image of $\mathbb{R}^n$ under the map $x^{\prime} \rightarrow z^{\prime}=x^{\prime}-i \delta \psi\left(x^{\prime}\right) \frac{\xi}{|\xi|}$. We look at the real part of the exponent in the integrand, after this deformation. Provided $\delta$ is sufficiently small and $z=x+i y$ stays in a sufficiently small neighborhood of $x^{\circ}$ we get, for every $x^{\prime} \in U$,
\begin{aligned} & |\xi|^{-1} \operatorname{Re}\left(i \xi \cdot\left(z-z^{\prime}\right)-\kappa|\xi|\left\langle z-z^{\prime}\right\rangle^2\right) \ & =-\delta \psi\left(x^{\prime}\right)+\kappa\left|y-\delta \psi\left(x^{\prime}\right)\right|^2-\kappa\left|x-x^{\prime}\right|^2 \ & \leq-\frac{1}{2} \delta \psi\left(x^{\prime}\right)-\kappa\left|x-x^{\prime}\right|^2+\kappa|y|^2 \leq-c_{\circ}<0 . \end{aligned}
Property (EXP DECAY 2) ensues directly.

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Sufciency of the condition

II. Sufficiency of the condition. Suppose (EXP DECAY 2) holds; it suffices to prove that the restriction of $f$ to the neighborhood $V$ of $x^{\circ}$ is analytic in some, possibly smaller, neighborhood of $x^{\circ}$. From Theorem 7.3.7 we deduce that the function equal to
$$(2 \pi)^{-n} \int_{\xi \in \mathbb{R}^n} \mathcal{F}_\kappa \mu(x, \xi) \mathrm{d} \xi$$

in $V$ and to zero in $\mathbb{R}^n \backslash V$ defines an analytic functional that represents the hyperfunction $f$ in $V$. It follows directly from (7.4.1) that (7.4.2) extends as a holomorphic function in the open subset $V^{\mathbb{C}}$ of $\mathbb{C}^n$.

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代 写|Necessity of the condition

$$|\xi|^{-1} \operatorname{Re}\left(i \xi \cdot\left(z-z^{\prime}\right)-\kappa|\xi|\left\langle z-z^{\prime}\right\rangle^2\right) \quad=-\delta \psi\left(x^{\prime}\right)+\kappa\left|y-\delta \psi\left(x^{\prime}\right)\right|^2-\kappa\left|x-x^{\prime}\right|^2 \leq-\frac{1}{2} \delta \psi\left(x^{\prime}\right)-\kappa\left|x-x^{\prime}\right|^2+\kappa|y|^2 \leq-c_{\circ}$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代 写|Sufciency of the condition

$$(2 \pi)^{-n} \int_{\xi \in \mathbb{R}^n} \mathcal{F}\kappa \mu(x, \xi) \mathrm{d} \xi$$ 在 $V$ 并归零 $\mathbb{R}^n \backslash V$ 定义代表超函数的解析泛函 $f$ 在 $V$. 直接从 (7.4.1) 推导出 (7.4.2) 作为开子集中的全纯函数扩 展 $V^{\mathbb{C}{\text {的 }} \mathbb{C}^n}$.

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