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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|MATH207 Local Representation of Hyperfunctions

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|A class of entire functions of infra-exponential type

We shall use once again the notation $\langle\zeta\rangle^2=\sum_{j=1}^n \zeta_j^2, \zeta=\left(\zeta_1, \ldots, \zeta_n\right) \in \mathbb{C}^n$. Given a monotone increasing map $\chi$ of $(1,+\infty)$ onto $(0,+\infty)$ we define
$$Q_\chi(\zeta)=\prod_{p=1}^{\infty}\left(1+\frac{\langle\zeta\rangle^2}{p^2 \chi(p)^2}\right), \zeta \in \mathbb{C}^n$$
For $\rho>0$ (in practice, small) we introduce the cone
$$\mathfrak{C}\rho=\left{\zeta \in \mathbb{C}^n ;|\operatorname{Im} \zeta| \leq \rho|\operatorname{Re} \zeta|\right}$$ Below we use the following functions of $\rho \in(0,1)$ : $$\tilde{\rho}=\sqrt{\frac{1-\rho^2}{1+\rho^2}}, c\rho=\log (1+\tilde{\rho}), A_\rho=\frac{1}{1+\tilde{\rho}}$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Local representation of hyperfunctions in term of smooth functions

Let $\Omega$ be an open subset of $\mathbb{R}^n$; we view $C^{\infty}(\Omega)$ as a vector subspace of the distribution space $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ and $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ as a vector subspace of $\mathcal{B}(\Omega)$, the vector space of hyperfunctions in $\Omega$. A hyperdifferential operator $J\left(\partial_x\right)$ maps $C^{\infty}(\Omega)$ into $\mathcal{B}(\Omega)$,

generally not into $\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$. In the present section we are going to show that, locally, every hyperfunction can be represented as the action of a hyperdifferential operator with constant coefficients on a smooth function. This is the local representation theorem for hyperfunctions, first proved in [Kaneko, 1972].
If $K$ is a compact subset of $\mathbb{R}^n$ we define
$$H_K(\zeta)=\max _{x \in K}(x \cdot \xi), \zeta=\xi+i \eta \in \mathbb{C}^n$$

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|A class of entire functions of infra-exponential type

$$Q_\chi(\zeta)=\prod_{p=1}^{\infty}\left(1+\frac{\langle\zeta\rangle^2}{p^2 \chi(p)^2}\right), \zeta \in \mathbb{C}^n$$

、left 缺少或无法识别的分隔符

$$\tilde{\rho}=\sqrt{\frac{1-\rho^2}{1+\rho^2}}, c \rho=\log (1+\tilde{\rho}), A_\rho=\frac{1}{1+\tilde{\rho}}$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Local representation of hyperfunctions in term of smooth functions

$$H_K(\zeta)=\max _{x \in K}(x \cdot \xi), \zeta=\xi+i \eta \in \mathbb{C}^n$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。