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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MAST90133 Sobolev functions on $\Omega \subset \mathbb{R}^n$

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Sobolev functions on $\Omega \subset \mathbb{R}^n$

Here, we briefly outline how ones transfers the results above to Sobolev spaces on domains other than $\mathbb{R}^n$ or $\mathbb{R}_{+}^n$.

Suppose that $\Omega$ is a smooth, bounded domain in $\mathbb{R}^n$. We may cover the closure $\bar{\Omega}$ by a collection of open balls contained in $\Omega$ and open balls with center $x \in \partial \Omega$. Since $\bar{\Omega}$ is compact, there is a finite collection $\left{B_i: 1 \leq i \leq N\right}$ of such open balls that covers $\bar{\Omega}$. There is a partition of unity $\left{\psi_i: 1 \leq i \leq N\right}$ subordinate to this cover consisting of functions $\psi_i \in C_c^{\infty}\left(B_i\right)$ such that $0 \leq \psi_i \leq 1$ and $\sum_i \psi_i=1$ on $\bar{\Omega}$

Given any function $f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$, we may write $f=\sum_i f_i$ where $f_i=\psi_i f$ has compact support in $B_i$ for balls whose center belongs to $\Omega$, and in $B_i \cap \bar{\Omega}$ for balls whose center belongs to $\partial \Omega$. In these latter balls, we may ‘straighten out the boundary’ by a smooth map. After this change of variables, we get a function $f_i$ that is compactly supported in $\overline{\mathbb{R}}_{+}^n$. We may then apply the previous results to the functions $\left{f_i: 1 \leq i \leq N\right}$.

Typically, results about $W_0^{k, p}(\Omega)$ do not require assumptions on the smoothness of $\partial \Omega$; but results about $W^{k, p}(\Omega)-$ for example, the existence of a bounded extension operator $E: W^{k, p}(\Omega) \rightarrow W^{k, p}\left(\mathbb{R}^n\right)$ – only hold if $\partial \Omega$ satisfies an appropriate smoothness or regularity condition e.g. a $C^k$, Lipschitz, segment, or cone condition [1].

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Lipschitz functions

3.A.1. Lipschitz functions. Lipschitz continuity is a weaker condition than continuous differentiability. A Lipschitz continuous function is pointwise differentiable almost everwhere and weakly differentiable. The derivative is essentially bounded, but not necessarily continuous.

Definition 3.51. A function $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ is uniformly Lipschitz continuous on $[a, b]$ (or Lipschitz, for short) if there is a constant $C$ such that
$$|f(x)-f(y)| \leq C|x-y| \quad \text { for all } x, y \in[a, b]$$
The Lipschitz constant of $f$ is the infimum of constants $C$ with this property.
We denote the space of Lipschitz functions on $[a, b]$ by $\operatorname{Lip}[a, b]$. We also define the space of locally Lipschitz functions on $\mathbb{R}$ by
$\operatorname{Lip}_{\text {loc }}(\mathbb{R})={f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f \in \operatorname{Lip}[a, b]$ for all $a<b}$

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Sobolev functions on $\Omega \subset \mathbb{R}^n$

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Lipschitz functions

3.A.1. 利普希茨函数。Lipschitz 连续性是比连续可微生更弱的条件。Lipschitz 连续函数几乎在任何地方都是逐 点可微的，并且是弱可微的。导数本质上是有界的，但不一定是连续的。

$$|f(x)-f(y)| \leq C|x-y| \quad \text { for all } x, y \in[a, b]$$

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