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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH480 Physical interpretation

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Physical interpretation

2.6.2. Physical interpretation. Suppose, as in electrostatics, that $u$ is the potential due to a charge distribution with smooth density $f$, where $-\Delta u=f$, and $E=-D u$ is the electric field. By the divergence theorem, the flux of $E$ through the boundary $\partial \Omega$ of an open set $\Omega$ is equal to the to charge inside the enclosed volume,
$$\int_{\partial \Omega} E \cdot \nu d S=\int_{\Omega}(-\Delta u) d x=\int_{\Omega} f d x .$$
Thus, since $\Delta \Gamma=0$ for $x \neq 0$ and from (2.15) the flux of $-D \Gamma$ through any sphere centered at the origin is equal to one, we may interpret $\Gamma$ as the potential due to a point charge located at the origin. In the sense of distributions, $\Gamma$ satisfies the $\mathrm{PDE}$
$$-\Delta \Gamma=\delta$$
where $\delta$ is the delta-function supported at the origin. We refer to such a solution as a Green’s function of the Laplacian.

In three space dimensions, the electric field $E=-D \Gamma$ of the point charge is given by
$$E=-\frac{1}{4 \pi} \frac{1}{|x|^2} \frac{x}{|x|}$$
corresponding to an inverse-square force directed away from the origin. For gravity, which is always attractive, the force has the opposite sign. This explains the connection between the Laplace and Poisson equations and Newton’s inverse square law of gravitation.

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Newtonian potential

Consider the equation
$$-\Delta u=f \quad \text { in } \mathbb{R}^n$$
where $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is a given function, which for simplicity we assume is smooth and compactly supported.
Theorem 2.25. Suppose that $f \in C_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$, and let
$$u=\Gamma * f$$
where $\Gamma$ is the fundamental solution (2.12). Then $u \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ and
$$-\Delta u=f .$$

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代 马冖|Physical interpretation

2.6.2. 物理解释。假设，在静电学中， $u$ 是由于具有平滑密度的电荷分布而产生的电势 $f$ ，在哪里 $-\Delta u=f$ ， 和 $E=-D u$ 是电场。根据散度定理，通量为 $E$ 通过边界 $\partial \Omega$ 开集的 $\Omega$ 等于封闭体积内的电荷，
$$\int_{\partial \Omega} E \cdot \nu d S=\int_{\Omega}(-\Delta u) d x=\int_{\Omega} f d x$$

$$-\Delta \Gamma=\delta$$

$$E=-\frac{1}{4 \pi} \frac{1}{|x|^2} \frac{x}{|x|}$$

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Newtonian potential

$$-\Delta u=f \quad \text { in } \mathbb{R}^n$$

$$u=\Gamma * f$$

$$-\Delta u=f .$$

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