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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Math444 The Vibrating String Problem

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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Vibrating String Problem

Fourier’s 1807 paper on the propagation of heat was seen by Lagrange and the other members of the reviewing committee as another piece in a longstanding controversy within mathematics. This controversy had begun with the mathematical model of the vibrating string.

In 1747, d’Alembert published the differential equation governing the height $y$ above position $x$ at time $t$ of a vibrating string:
$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$
where $c$ depends on the length, tension, and mass of the string. To solve this equation, we need to know boundary conditions. If the ends of the string at $x=0$ and $l$ are fixed, then $y(0, t)=y(l, t)=0$. We also need to know the original position of the string: $y(x, 0)$.
The situation is very similar to that of heat propagation. If $y(x)$ can be expressed as a linear combination of functions of the form $\sin (\pi x / l), \sin (2 \pi x / l), \sin (3 \pi x / l), \ldots$, for example
$$y(x, 0)=3 \sin (\pi x / l)-2 \sin (3 \pi x / l)$$
then the solution to equation (2.68) is
$$y(x, t)=3 \sin (\pi x / l) \cos (\pi c t / l)-2 \sin (3 \pi x / l) \cos (3 \pi c t / l) .$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Cauchy’s Counterexample

The death knell for Lagrange’s definition of the derivative was sounded by Cauchy in 1821 . He exhibited a counterexample to Lagrange’s assertion that distinct functions have distinct power series (Figure 2.7):
$$f(x)=e^{-1 / x^2}, \quad f(0)=0$$
All of the derivatives of $f(x)$ at $x=0$ are equal to 0 . At $x=0$, this function has the same power series expansion as the constant function 0 . The determination of the derivatives of $f(x)$ at $x=0$ will be demonstrated in section 3.1 .

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Vibrating String Problem

1747 年，达朗贝尔发表了控制高度的微分方程 $y$ 以上位置 $x$ 在时间 $t$ 振动的弦:
$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$

$$y(x, 0)=3 \sin (\pi x / l)-2 \sin (3 \pi x / l)$$

$$y(x, t)=3 \sin (\pi x / l) \cos (\pi c t / l)-2 \sin (3 \pi x / l) \cos (3 \pi c t / l)$$

数学代写实分析代写Real Analysis代考|Cauchy’s Counterexample

1821 年，柯西敲响了拉格朗日导数定义的丧钟。他展示了拉格朗日断言的反例，即不同的函数具有 不同的幂级数（图 2.7）:
$$f(x)=e^{-1 / x^2}, \quad f(0)=0$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。