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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATG5020 Algebras and their Properties

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Algebras and their Properties

Definition 10.8.
An algebra over a field $K$ (or a $K$-algebra) is an algebraic structure $(A, K,+, \bullet, \circ)$ with two internal binary operations:
\begin{aligned} & +: A \times A \rightarrow A, \ & \bullet: A \times A \rightarrow A, \end{aligned}
named by addition and multiplication, respectively, and one external operation:
$$\circ: K \times A \rightarrow A$$

satisfying the conditions:
1) $(A,+, \bullet)$ is a ring;
2) $(A, K,+, \circ)$ is a vector space over the field $K$;
3) $\lambda \circ(a \bullet b)=(\lambda \circ a) \bullet b=a \bullet(\lambda \circ b)$ for all $a, b \in A$, and for all $\lambda \in K$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Division Algebras. Algebras with Involution

In this section, we consider some interesting classes of algebras with particular properties.

• Definition 10.23.
An algebra $A$ is called a division algebra if each of equations: $a x=b$ and $y a=b$, where $a, b \in A, a \neq 0$, has a solution.
Lemma 10.24 .
If $A$ is a finite dimensional associative algebra with identity, then the following conditions are equivalent:
1) $A$ is a division algebra.
2) An algebra $A$ has no zero divisors, i.e., each equality $a b=0$ implies $a=0$ or $b=0$ where $a, b \in A$.
Proof.
1) $\Rightarrow 2$ ). Suppose that $A$ is a division algebra. Then, each equation of the form $a x=1$ and $y a=1$, where $0 \neq a \in A$, has a solution. In this case, an ideal $a A$, where $a \in A$, contains the identity 1. Then, by Lemma 4.28, $a A=A=A a$. Consider the right regular representation: $R_a: A \rightarrow A$, where $R_a(x)=x a$ for all $x \in A$. Since $A a=A, R_a$ is an epimorphism. From theorem A.25, it follows that
$$\operatorname{dim} A=\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(R_a\right)+\operatorname{dim} \operatorname{Im}\left(R_a\right) .$$

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Algebras and their Properties

$$+: A \times A \rightarrow A, \quad \bullet: A \times A \rightarrow A$$

$$\circ: K \times A \rightarrow A$$

1) $(A,+, \bullet)$ 是一个戒指；
2) $(A, K,+, \circ)$ 是场上的向量空间 $K$;
3) $\lambda \circ(a \bullet b)=(\lambda \circ a) \bullet b=a \bullet(\lambda \circ b)$ 对全部 $a, b \in A$ ，并且对于所有 $\lambda \in K$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Division Algebras. Algebras with Involution

• 定义 10.23 。
代数 $A$ 如果每个方程: $a x=b$ 和 $a=b$ ，在郅里 $a, b \in A, a \neq 0$ ，有解。 引|汪 10.24。
1) $A$ 是除去代数。
2) 代数 $A$ 没有零因子，即每个相等 $a b=0$ 暗示 $a=0$ 或者 $b=0$ 在哪里 $a, b \in A$. 证明。
4.28, $a A=A=A a$. 考虑正确的正则表示: $R_a: A \rightarrow A$ ，在䭪 $R_a(x)=x a$ 对全部 $x \in A$. 自从 $A a=A, R_a$ 是同态。根据定理 A.25, 可以㥂出
$$\operatorname{dim} A=\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(R_a\right)+\operatorname{dim} \operatorname{Im}\left(R_a\right) .$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。