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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH612 Gaussian Integers

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Gaussian Integers

In this section, we consider a particular subset of complex numbers and study their most important properties.

• Definition 11.5.
A complex number of the form $a+i b$, where $a, b \in \mathbb{Z}$, is called a Gaussian integer.
We write the set of Gaussian integers as:
$$\mathbb{Z}[i]={a+b i: a, b \in \mathbb{Z}} .$$
It is obvious that if $a+b i, c+d i \in \mathbb{Z}[i]$, then:
1) $(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d) i$
2) $(a+b i)(c+d i)=(a c-b d)+(a c+b d) i$
3) $(a+b i)^*=\overline{a+b i}=a-b i$
4) $1=1+0 \cdot i$
5) $0=0+0 \cdot i$
are also Gaussian integers, i.e., $\mathbb{Z}[i]$ is a subring of the ring of complex numbers with respect to operations of addition and multiplication. Since in the set of complex numbers there are no zero divisors, $\mathbb{Z}[i]$ is an integral domain.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Fermat’s Theorem on Sums of Two Squares

In this section, we prove the important Fermat Theorem that answers the question: “When is a prime a sum of two squares?”. As a corollary from this theorem, we will obtain a criterion that shows when a Gaussian integer is prime, which is equivalent to the fact that this number is irreducible in $\mathbb{Z}[i]$.

For each prime $p \in \mathbb{Z}$ of the form $p=4 n+1$, there exists an integer $m \in \mathbb{Z}$ such that $p \mid\left(m^2+1\right)$.
Proof.
Let $p=4 n+1$. Consider the set of all representatives of the group $\mathbb{Z}_p^$ of the form $$S={-2 n,-2 n+1, \ldots,-1,1,2, \ldots, 2 n-1,2 n}$$ Then, $\left|\mathbb{Z}_p^\right|=|S|=p-1=4 n$. Since $p-x \equiv-x(\bmod p)$ for all $x \in \mathbb{Z}$, from Wilson’s Theorem 7.15 , it follows that:
$$\begin{gathered} -1 \equiv(4 n) ! \equiv(2 n) !(2 n+1)(2 n+2) \ldots(4 n-1)(4 n) \equiv \ \equiv(2 n) !(-2 n)(-2 n+1) \ldots(-2)(-1) \equiv(2 n) !(-1)^{2 n}(2 n) ! \equiv[(2 n) !]^2(\bmod p) \end{gathered}$$
Therefore,
$$m^2+1 \equiv 0(\bmod p)$$
where $m=(2 n)$ !

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代 写|Gaussian Integers

• 定义 11.5。
形式的复数 $a+i b$ ，在哪里 $a, b \in \mathbb{Z}$ ，称为高斯整数。 我们将高斯整数集写为:
$$\mathbb{Z}[i]=a+b i: a, b \in \mathbb{Z}$$
很明显，如果 $a+b i, c+d i \in \mathbb{Z}[i]$ ，那么:
1) $(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d) i$
2) $(a+b i)(c+d i)=(a c-b d)+(a c+b d) i$
3) $(a+b i)^*=\overline{a+b i}=a-b i$
4) $1=1+0 \cdot i$
5) $0=0+0 \cdot i$
也是高斯整数，即 $\mathbb{Z}[i]$ 是关于加法和乘法运算的复数环的子环。因为在复数集合 中没有零因子， $\mathbb{Z}[i]$ 是一个积分域。

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Fermat’s Theorem on Sums of Two Squares

For each prime $p \in \mathbb{Z}$ 形式的 $p=4 n+1$ ，存在一个整数 $m \in \mathbb{Z}$ 这样 $p \mid\left(m^2+1\right)$. 证明。

$$S=-2 n,-2 n+1, \ldots,-1,1,2, \ldots, 2 n-1,2 n$$

$$-1 \equiv(4 n) ! \equiv(2 n) !(2 n+1)(2 n+2) \ldots(4 n-1)(4 n) \equiv \equiv(2 n) !(-2 n)(-2 n+1) \ldots(-2)(-1) \equiv(2 n) !(\cdot$$

$$m^2+1 \equiv 0(\bmod p)$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。