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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH612 Gaussian Integers

如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra MATH612这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数,也叫抽象代数,是数学的一个分支,涉及各种集合(如实数、复数、矩阵和矢量空间)的一般代数结构,而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展,现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算,可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称,但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下,现代代数处理的是特殊类别的代数,包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看,场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数,但这两个名字在今天都有误导性,因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH612 Gaussian Integers

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Gaussian Integers

In this section, we consider a particular subset of complex numbers and study their most important properties.

  • Definition 11.5.
    A complex number of the form $a+i b$, where $a, b \in \mathbb{Z}$, is called a Gaussian integer.
    We write the set of Gaussian integers as:
    $$
    \mathbb{Z}[i]={a+b i: a, b \in \mathbb{Z}} .
    $$
    It is obvious that if $a+b i, c+d i \in \mathbb{Z}[i]$, then:
    1) $(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d) i$
    2) $(a+b i)(c+d i)=(a c-b d)+(a c+b d) i$
    3) $(a+b i)^*=\overline{a+b i}=a-b i$
    4) $1=1+0 \cdot i$
    5) $0=0+0 \cdot i$
    are also Gaussian integers, i.e., $\mathbb{Z}[i]$ is a subring of the ring of complex numbers with respect to operations of addition and multiplication. Since in the set of complex numbers there are no zero divisors, $\mathbb{Z}[i]$ is an integral domain.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Fermat’s Theorem on Sums of Two Squares

In this section, we prove the important Fermat Theorem that answers the question: “When is a prime a sum of two squares?”. As a corollary from this theorem, we will obtain a criterion that shows when a Gaussian integer is prime, which is equivalent to the fact that this number is irreducible in $\mathbb{Z}[i]$.
朱 Lemma 11.18 (Lagrange’s Lemma).
For each prime $p \in \mathbb{Z}$ of the form $p=4 n+1$, there exists an integer $m \in \mathbb{Z}$ such that $p \mid\left(m^2+1\right)$.
Proof.
Let $p=4 n+1$. Consider the set of all representatives of the group $\mathbb{Z}_p^$ of the form $$ S={-2 n,-2 n+1, \ldots,-1,1,2, \ldots, 2 n-1,2 n} $$ Then, $\left|\mathbb{Z}_p^\right|=|S|=p-1=4 n$. Since $p-x \equiv-x(\bmod p)$ for all $x \in \mathbb{Z}$, from Wilson’s Theorem 7.15 , it follows that:
$$
\begin{gathered}
-1 \equiv(4 n) ! \equiv(2 n) !(2 n+1)(2 n+2) \ldots(4 n-1)(4 n) \equiv \
\equiv(2 n) !(-2 n)(-2 n+1) \ldots(-2)(-1) \equiv(2 n) !(-1)^{2 n}(2 n) ! \equiv[(2 n) !]^2(\bmod p)
\end{gathered}
$$
Therefore,
$$
m^2+1 \equiv 0(\bmod p)
$$
where $m=(2 n)$ !

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现代代数代写

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在本节中,我们考虑复数的一个特定子集并研究它们最重要的性质。

  • 定义 11.5。
    形式的复数 $a+i b$ ,在哪里 $a, b \in \mathbb{Z}$ ,称为高斯整数。 我们将高斯整数集写为:
    $$
    \mathbb{Z}[i]=a+b i: a, b \in \mathbb{Z}
    $$
    很明显,如果 $a+b i, c+d i \in \mathbb{Z}[i]$ ,那么:
    1) $(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d) i$
    2) $(a+b i)(c+d i)=(a c-b d)+(a c+b d) i$
    3) $(a+b i)^*=\overline{a+b i}=a-b i$
    4) $1=1+0 \cdot i$
    5) $0=0+0 \cdot i$
    也是高斯整数,即 $\mathbb{Z}[i]$ 是关于加法和乘法运算的复数环的子环。因为在复数集合 中没有零因子, $\mathbb{Z}[i]$ 是一个积分域。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Fermat’s Theorem on Sums of Two Squares


在本节中,我们将证明重要的费马定理来回答这个问题: “什么时候素数是两个平方 和? “。作为该定理的推论,我们将获得一个标准,表明高斯整数何时为素数,这等同 于该数在 $\mathbb{Z}[i]$.
朱 Lemma 11.18 (Lagrange’s Lemma).
For each prime $p \in \mathbb{Z}$ 形式的 $p=4 n+1$ ,存在一个整数 $m \in \mathbb{Z}$ 这样 $p \mid\left(m^2+1\right)$. 证明。
让 $p=4 n+1$. 考虑该组所有代表的集合
缺少上标或下标参数 $\quad$ 形式的
$$
S=-2 n,-2 n+1, \ldots,-1,1,2, \ldots, 2 n-1,2 n
$$
然后,缺少 $\backslash$ left 或额外的 \right . 自从 $p-x \equiv-x(\bmod p)$ 对全部 $x \in \mathbb{Z}$ , 根据威尔逊定理 7.15,它遵循:
$$
-1 \equiv(4 n) ! \equiv(2 n) !(2 n+1)(2 n+2) \ldots(4 n-1)(4 n) \equiv \equiv(2 n) !(-2 n)(-2 n+1) \ldots(-2)(-1) \equiv(2 n) !(\cdot
$$
所以,
$$
m^2+1 \equiv 0(\bmod p)
$$
在哪里 $m=(2 n) !$

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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