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# 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|MTH315 The Euclidean Algorithm

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## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Euclidean Algorithm

The greatest common divisor of two integers $a$ and $b$ is the largest integer that divides both $a$ and $b$. For example, the greatest common divisor of 12 and 30 is 6 . The Euclidean algorithm provides a very efficient way to compute the greatest common divisor of two integers.
Definition
Let $a$ and $b$ be integers that are not both zero. The greatest common divisor of $a$ and $b$, denoted $\operatorname{gcd}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$, is that integer $d$ with the following properties:

1. $d$ is a common divisor of both $a$ and $b$. In other words,
$$d \mid a \quad \text { and } \quad d \mid b$$
2. For every integer $c$, if $c$ is a common divisor of both $a$ and $b$, then $c$ is less than or equal to $d$. In other words,
for every integer $c$, if $c \mid a$ and $c \mid b$ then $c \leq d$.

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Calculating Some gcd’s

a. Find $\operatorname{gcd}(72,63)$.
b. Find $\operatorname{gcd}\left(10^{20}, 6^{30}\right)$.
c. In the definition of greatest common divisor, $\operatorname{gcd}(0,0)$ is not allowed. Why not? What would $\operatorname{gcd}(0,0)$ equal if it were found in the same way as the greatest common divisors for other pairs of numbers?
Solution
a. $72=9 \cdot 8$ and $63=9 \cdot 7$. So $9 \mid 72$ and $9 \mid 63$, and no integer larger than 9 divides both 72 and 63. Hence $\operatorname{gcd}(72,63)=9$.
b. By the laws of exponents, $10^{20}=2^{20} \cdot 5^{20}$ and $6^{30}=2^{30} \cdot 3^{30}=2^{20} \cdot 2^{10} \cdot 3^{30}$. It follows that
$$2^{20} \mid 10^{20} \text { and } 2^{20} \mid 6^{30}$$
and by the unique factorization of integers theorem, no integer larger than $2^{20}$ divides both $10^{20}$ and $6^{30}$ (because no more than twenty 2’s divide $10^{20}$, no 3 ‘s divide $10^{20}$, and no 5 ‘s divide $\left.6^{30}\right)$. Hence $\operatorname{gcd}\left(10^{20}, 6^{30}\right)=2^{20}$.
c. Suppose $\operatorname{gcd}(0,0)$ were defined to be the largest common factor that divides 0 and 0 . The problem is that every positive integer divides 0 and there is no largest integer. So there is no largest common divisor!

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Euclidean Algorithm

1. $d$ 是两者的公约数 $a$ 和 $b$. 换句话说，
$$d \mid a \quad \text { and } \quad d \mid b$$
2. 对于每个整数 $c$ ，如果 $c$ 是两者的公约数 $a$ 和 $b$ ，然后 $c$ 小于或等于 $d$. 换句话说， 对于每个整数 $c$ ，如果 $c \mid a$ 和 $c \mid b$ 然后 $c \leq d$.

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Calculating Some ged’s

A。寻找 $\operatorname{gcd}(72,63)$.
b. 寻找 $\operatorname{gcd}\left(10^{20}, 6^{30}\right)$.
C。在最大公约数的定义中， $\operatorname{gcd}(0,0)$ 不允许。为什么不? 什么会 $\operatorname{gcd}(0,0)$ 如果以与其他数字对的最大公因 数相同的方式找到它是否相等? 解决

$72=9 \cdot 8$ 和 $63=9 \cdot 7$. 所以 $9 \mid 72$ 和 $9 \mid 63$ ，并且没有大于 9 的整数可以同时除以 72 和 63 。因此 $\operatorname{gcd}(72,63)=9$.
b. 根据指数定律, $10^{20}=2^{20} \cdot 5^{20}$ 和 $6^{30}=2^{30} \cdot 3^{30}=2^{20} \cdot 2^{10} \cdot 3^{30}$. 它遧循
$2^{20} \mid 10^{20}$ and $2^{20} \mid 6^{30}$

C。认为 $\operatorname{gcd}(0,0)$ 被定义为除以 0 和 0 的最大公因数。问题是每个正整数都被 0 整除，没有最大的整数。所以 没有最大公约数!

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。