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# 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|EECS559 Operations with Convex Functions

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Operations with Convex Functions

In the previous section, we have seen several examples of convex functions. Let us describe a set of invariant operations which allow us to create more complicated objects.

Theorem 3.1.5 Let functions $f_1$ and $f_2$ be closed and convex on convex sets $Q_1$ and $Q_2$, and $\beta \geq 0$. Then all functions below are closed and convex on the corresponding sets $Q$ :

1. $f(x)=\beta f_1(x), Q=Q_1$.
2. $f(x)=f_1(x)+f_2(x), Q=Q_1 \cap Q_2 \cdot{ }^1$
3. $f(x)=\max \left{f_1(x), f_2(x)\right}, Q=Q_1 \bigcap Q_2$.
Proof
4. The first item is evident:
$$f\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right) \leq \beta\left(\alpha f_1\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_1\left(x_2\right)\right), \quad x_1, x_2 \in Q_1$$
5. For all $x_1, x_2 \in Q=Q_1 \bigcap Q_2$ and $\alpha \in[0,1]$ we have
\begin{aligned} & f_1\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right)+f_2\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right) \ & \leq \alpha f_1\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_1\left(x_2\right)+\alpha f_2\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_2\left(x_2\right) \ & =\alpha\left(f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_1\right)\right)+(1-\alpha)\left(f_1\left(x_2\right)+f_2\left(x_2\right)\right) \end{aligned}

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Separation Theorems

Up to now, we have looked at the properties of convex functions in terms of function values. We have not yet introduce any directions, which could be used by minimization schemes. In Convex Analysis, such directions are defined by separation theorems, which are presented in this section.
Definition 3.1.4 Let $Q$ be a convex set. We say that the hyperplane
$$\mathscr{H}(g, \gamma)=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid\langle g, x\rangle=\gamma\right}, \quad g \neq 0,$$

is supporting to $Q$ if any $x \in Q$ satisfies inequality $\langle g, x\rangle \leq \gamma$. The hyperplane $\mathscr{H}(g, \gamma) \nsupseteq Q$ separates a point $x_0$ from $Q$ if
$$\langle g, x\rangle \leq \gamma \leq\left\langle g, x_0\right\rangle$$
for all $x \in Q$. If one of the inequalities in (3.1.19) is strict, the we call the separation strong.

In a similar way, we define separability of convex sets. Two sets $Q_1$ and $Q_2$ are called separable if there exist $g \in \mathbb{R}^n, g \neq 0$, and $\gamma \in \mathbb{R}$ such that
$$\langle g, x\rangle \leq \gamma \leq\langle g, y\rangle \quad \forall x \in Q_1, y \in Q_2$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Operations with Convex Functions

1. $f(x)=\beta f_1(x), Q=Q_1$.
2. $f(x)=f_1(x)+f_2(x), Q=Q_1 \cap Q_2 \cdot{ }^1$
3.\1eft 缺少或无法识别的分隔符 证明
3. 第一项很明显:
$$f\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right) \leq \beta\left(\alpha f_1\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_1\left(x_2\right)\right), \quad x_1, x_2 \in Q_1$$
4. 对全部 $x_1, x_2 \in Q=Q_1 \cap Q_2$ 和 $\alpha \in[0,1]$ 我们有
$$f_1\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right)+f_2\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right) \quad \leq \alpha f_1\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_1\left(x_2\right)+\alpha f_2\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_2\left(x_2\right)$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Separation Theorems

\eft 缺少或无法识别的分隔符

$$\langle g, x\rangle \leq \gamma \leq\langle g, y\rangle \quad \forall x \in Q_1, y \in Q_2$$

## MATLAB代写

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