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# 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|EEEN422 Minimization Methods for the Minimax Problem

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization Methods for the Minimax Problem

Theorem 2.3.4 Let $f \in \mathscr{S}{\mu, L}^{1,1}\left(\mathbb{R}^n\right)$. If in method (2.3.11) we choose $h \leq \frac{1}{L}$, then it forms a feasible sequence of points such that $$\left|x_k-x^\right|^2 \leq(1-\mu h)^k\left|x_0-x^\right|^2, \quad k \geq 0 .$$
Proof Let $r_k=\left|x_k-x^\right|$ and $g_k=g_f\left(x_k ; L\right)$. Then, in view of (2.3.9), we have \begin{aligned} r{k+1}^2 & =\left|x_k-x^-h g_k\right|^2=r_k^2-2 h\left\langle g_k, x_k-x^*\right\rangle+h^2\left|g_k\right|^2 \ & \leq(1-h \mu) r_k^2+h\left(h-\frac{1}{L}\right)\left|g_k\right|^2 \leq(1-h \mu) r_k^2 . \end{aligned}
Let $\alpha=h L \leq 1$. Then $x_{k+1}=(1-\alpha) x_k+\alpha x_f\left(x_k, L\right) \in Q$.
With the maximal step size $h=\frac{1}{L}$, we have
$$x_{k+1}=x_k-\frac{1}{L} g_f\left(x_k ; L\right)=x_f\left(x_k ; L\right)$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Optimization with Functional Constraints

Let us show that the methods of the previous section can be used to solve a constrained minimization problem with smooth functional constraints. Recall, that the analytical form of such a problem is as follows:
\begin{aligned} & \min {x \in Q} f_0(x) \ & \text { s.t. } f_i(x) \leq 0, i=1 \ldots m \text {, } \ & \end{aligned} where the functions $f_i$ are convex and smooth and $Q$ is a simple closed convex set. In this section, we assume that $f_i \in \mathscr{S}{\mu, L}^{1,1}\left(\mathbb{R}^n\right), i=0 \ldots m$, with some $\mu>0$.
The relation between problem (2.3.16) and minimax problems is established by some special function of one variable. Consider the parametric max-type function
$$f(t ; x)=\max \left{f_0(x)-t ; f_i(x), i=1 \ldots m\right}, \quad t \in \mathbb{R}, x \in Q$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization Methods for the Minimax Problem

$$r k+1^2=\left|x_k-x^{-} h g_k\right|^2=r_k^2-2 h\left\langle g_k, x_k-x^*\right\rangle+h^2\left|g_k\right|^2 \quad \leq(1-h \mu) r_k^2+h\left(h-\frac{1}{L}\right)\left|g_k\right|^2 \leq(1-h \mu) r_k^2$$

$$x_{k+1}=x_k-\frac{1}{L} g_f\left(x_k ; L\right)=x_f\left(x_k ; L\right)$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Optimization with Functional Constraints

$$\min x \in Q f_0(x) \quad \text { s.t. } f_i(x) \leq 0, i=1 \ldots m,$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。