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## 数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Element Matrices

To obtain the stiffness matrix $\mathbf{k}e$, we substitute Eq. (8.15) into Eq. (8.6), from which we obtain $$\mathbf{k}_e=\int{A_e} \frac{h^3}{12}\left[\mathbf{B}^{\mathrm{I}}\right]^{\mathrm{T}} \mathbf{c} \mathbf{B}^{\mathrm{I}} \mathrm{d} A+\int_{A_e} \kappa h\left[\mathbf{B}^{\mathrm{O}}\right]^{\mathrm{T}} \mathbf{c}s \mathbf{B}^{\mathrm{O}} \mathrm{d} A$$ The first term in the above equation represents the strain energy associated with the in-plane stress and strains. The strain matrix $\mathbf{B}^{\mathrm{I}}$ has the form of $$\mathbf{B}^{\mathrm{I}}=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{B}_1^{\mathrm{I}} & \mathbf{B}_2^{\mathrm{I}} & \mathbf{B}_3^{\mathrm{I}} & \mathbf{B}_4^{\mathrm{I}} \end{array}\right]$$ where $$\mathbf{B}{\mathrm{j}}^{\mathrm{I}}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\partial N_j / \partial x \ 0 & \partial N_j / \partial y & 0 \ 0 & \partial N_j / \partial x & -\partial N_j / \partial y \end{array}\right]$$
Using the expression for the shape functions in Eq. (8.14), we obtain
\begin{aligned} & \frac{\partial N_j}{\partial x}=\frac{\partial N_j}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x}=\frac{1}{4 a} \xi_i\left(1+\eta_i \eta\right) \ & \frac{\partial N_j}{\partial y}=\frac{\partial N_j}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial y}=\frac{1}{4 b}\left(1+\xi_i \xi\right) \eta_i \end{aligned}
In deriving Eq. (8.23), the relationship $\xi=x / a, \eta=y / b$ has been employed.

## 数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Higher Order Elements

For an eight-node rectangular thick plate element, the deflection and rotations can be summed as
$$w=\sum_{i=1}^8 N_i w_i, \quad \theta_x=\sum_{i=1}^8 N_i \theta_{x_i}, \quad \theta_y=\sum_{i=1}^8 N_i \theta_{y_i}$$
where the shape function $N_i$ is the same as the eight-node $2 \mathrm{D}$ solid element given by Eq. (7.52). The element constructed will be a conforming element, as $w, \theta_x$ and $\theta_y$ are continuous on the edges between elements. The formulation procedure is the same as for the rectangular plate elements.

## 数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Element Matrices

$$\mathbf{k}e=\int A_e \frac{h^3}{12}\left[\mathbf{B}^{\mathrm{I}}\right]^{\mathrm{T}} \mathbf{c} \mathbf{B}^{\mathrm{I}} \mathrm{d} A+\int{A_e} \kappa h\left[\mathbf{B}^{\mathrm{O}}\right]^{\mathrm{T}} \mathbf{c} s \mathbf{B}^{\mathrm{O}} \mathrm{d} A$$

$$\mathbf{B}^{\mathrm{I}}=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{B}_1^{\mathrm{I}} & \mathbf{B}_2^{\mathrm{I}} & \mathbf{B}_3^{\mathrm{I}} & \mathbf{B}_4^{\mathrm{I}} \end{array}\right]$$

$$\frac{\partial N_j}{\partial x}=\frac{\partial N_j}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x}=\frac{1}{4 a} \xi_i\left(1+\eta_i \eta\right) \quad \frac{\partial N_j}{\partial y}=\frac{\partial N_j}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial y}=\frac{1}{4 b}\left(1+\xi_i \xi\right) \eta_i$$

## 数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Higher Order Elements

$$w=\sum_{i=1}^8 N_i w_i, \quad \theta_x=\sum_{i=1}^8 N_i \theta_{x_i}, \quad \theta_y=\sum_{i=1}^8 N_i \theta_{y_i}$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。