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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|STAT721 Numerical integration

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## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Numerical integration

In this chapter, we study algorithms for approximating the definite integral
$$\int_a^b f(x) d x$$
We assume that $[a, b]$ is finite and $f(x)$ is continuous. We have the experience with Calculus that finding the elementary antiderivative of $f(x)$ can be rather challenging, and in many cases impossible even for $f(x)$ with quite simple expressions, such as $f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}, \frac{1}{\ln x}, \frac{\sin x}{x}, e^{-x^2}$, and so on. In addition, we may not have an analytic expression of $f(x)$ but instead can only evaluate it wherever convenient. In these cases, a most commonly used solution is to find an approximate value of the integral by numerical integration (or quadrature). Our focus would be on a variety of quadrature rules that strike different levels of balance between the accuracy and evaluation cost.

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Preliminaries

A fundamental idea for quadrature is to use a polynomial $p_n(x)$ to approximate $f(x)$ on $[a, b]$, so that $\int_a^b f(x) d x$ can be approximated by $\int_a^b p_n(x) d x$, and the integration of polynomials is relatively easy. The first thought here is to let $p_n(x)=\sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_k(x)$ be a Lagrange interpolation of $f(x)$ at distinct nodes $x_0, x_1, \ldots, x_n \in[a, b]$. Let $w_k=$ $\int_a^b L_k(x) d x$, and it follows that
$$Q(f) \equiv \sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)=\int_a^b \sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_k(x) d x=\int_a^b p_n(x) d x$$
Here, $\left{x_k\right}_{k=0}^n$ and $\left{w_k\right}_{k=0}^n$ are called the quadrature nodes and weights, respectively. The weights usually depend on the nodes, which should be independent of $f(x)$. A quadrature rule is defined by the choice of nodes and weights.

The generic quadrature rule above is a linear functional. For any continuous functions $f, g$ and scalars $\alpha, \beta, Q(\alpha f+\beta g)=\sum_{k=0}^n w_k\left(\alpha f\left(x_k\right)+\beta g\left(x_k\right)\right)=\alpha\left(\sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)\right)+$ $\beta\left(\sum_{k=0}^n w_k g\left(x_k\right)\right)=\alpha Q(f)+\beta Q(g)$.

## 数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Numerical integration

$$\int_a^b f(x) d x$$

$f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}, \frac{1}{\ln x}, \frac{\sin x}{x}, e^{-x^2}$ ，等等。此外，我们可能没有解析表达式 $f(x)$ 但只能在方便的 时候对其进行评估。在这些情况下，最常用的解决方案是通过数值积分（或积分）找到积分的近似 值。我们的重点将放在各种正交规则上，这些规则在准确性和评估成本之间取得不同程度的平衡。

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Preliminaries

$$Q(f) \equiv \sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)=\int_a^b \sum_{k=0}^n f\left(x_k\right) L_k(x) d x=\int_a^b p_n(x) d x$$

$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符

\begin{aligned} & \alpha, \beta, Q(\alpha f+\beta g)=\sum_{k=0}^n w_k\left(\alpha f\left(x_k\right)+\beta g\left(x_k\right)\right)=\alpha\left(\sum_{k=0}^n w_k f\left(x_k\right)\right)+ \ & \beta\left(\sum_{k=0}^n w_k g\left(x_k\right)\right)=\alpha Q(f)+\beta Q(g) . \end{aligned}

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。