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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH0021 Double chain complexes

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Double chain complexes

The idea of a double complex generalizes the previous notions. It is visually convenient to think of a chain complex as a dimension-one diagram, while a double complex as a dimension-two diagram, extending throughout the entire plane as a grid of chain complexes with commutative squares.

A double (chain) complex has the usual nature of any double mathematical structure. Namely, it is a grid $C_{\ominus, \bullet}=\left{C_{r, s}\right}_{(r, s) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}}$ of $R$-modules such that:
(i) For every fixed $r \in \mathbb{Z}$ (resp., $s \in \mathbb{Z}$ ), the family $C_{r, \bullet}$ (resp., $C_{\bullet, s}$ ) is a “vertical” (resp., “horizontal”) chain complex; let $d_{\mathbf{r}, s}: C_{r, s} \rightarrow C_{r, s-1}$ (resp., $d_{r, \mathbf{s}}: C_{r, s} \rightarrow C_{r-1, s}$ ) denote its sth differential (respectively, its $r$ th differential)
(ii) For every pair $(r, s) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, one has $d_{\mathbf{r}-1, s} \circ d_{\mathbf{r}, s}=d_{r, \mathbf{s}-1} \circ d_{\mathbf{r}, s-1}$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Homotopy equivalence

The next notion, also inspired from topology, establishes a way of detecting isomorphisms of homologies.

Definition 6.2.44. Let $\mathbf{f}, \mathbf{g}:\left(C_{\bullet}, \mathbf{d}{\bullet}\right) \rightarrow\left(C^{\prime}, \mathbf{d}^{\prime}\right)$ denote two chain maps. One says that $\mathbf{f}$ is homotopic to $\mathbf{g}$ if there is a collection of module homomorphisms $\mathbf{h}:=\left{h_i: C_i \rightarrow\right.$ $\left.C^{\prime}(1)\right}{i \geq 0}$ such that $f_i-g_i=d_{i+1}^{\prime} \circ h_i+h_{i-1} \circ d_i$, for every $i \geq 0$.
One can depict the idea through the following diagram:
\begin{aligned} & \cdots \quad \rightarrow C_{i+1} \stackrel{d_{i+1}}{\longrightarrow} C_i \stackrel{d_i}{\longrightarrow} \quad C_{i-1} \rightarrow \ldots \ & \downarrow \downarrow h_i \swarrow \downarrow \downarrow h_{i-1} \swarrow \downarrow \downarrow \ & \cdots \quad \rightarrow \quad C_{i+1}^{\prime} \stackrel{d_{i+1}^{\prime}}{\longrightarrow} C_i^{\prime} \stackrel{d_i^{\prime}}{\longrightarrow} \quad C_{i-1}^{\prime} \quad \rightarrow \cdots \ & \end{aligned}
where the vertical down-arrows represent $f_i, g_i$, for $i \geq 0$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Double chain complexes

(i) 对于每个固定的 $r \in \mathbb{Z}$ (分别， $s \in \mathbb{Z}$ )，家庭 $C_{r, \bullet}$ (分别， $C_{\bullet, s}$ ) 是一个“垂直” (分别为“水平”) 链筫合 体；让 $d_{\mathbf{r}, s}: C_{r, s} \rightarrow C_{r, s-1}$ (分别， $d_{r, \mathbf{s}}: C_{r, s} \rightarrow C_{r-1, s}$ ) 表示它的 sth 微分 (分别是它的 $r$ th 微分)
(ii) 对于每一对 $(r, s) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, 一个有 $d_{\mathbf{r}-1, s} \circ d_{\mathbf{r}, s}=d_{r, \mathbf{s}-1} \circ d_{\mathbf{r}, s-1}$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Homotopy equivalence

$$\cdots \quad \rightarrow C_{i+1} \stackrel{d_{i+1}}{\longrightarrow} C_i \stackrel{d_i}{\longrightarrow} \quad C_{i-1} \rightarrow \ldots \quad \quad \downarrow \downarrow h_i \swarrow \downarrow \downarrow h_{i-1} \swarrow \downarrow \downarrow \cdots \quad \rightarrow \quad C_{i+1}^{\prime} \stackrel{d_{i+1}^{\prime}}{\longrightarrow} C_i^{\prime} \stackrel{d_i^{\prime}}{\longrightarrow} \quad C_{i-1}^{\prime} \quad \rightarrow \cdots$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。