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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH0021 Ext via injective resolutions

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Ext via injective resolutions

One now considers the functor $\operatorname{Hom}(M, \ldots)$, where $M$ is a fixed $R$-module. Thus, this is a functor of the “second variable” and, as such it is a covariant functor. Moreover, it is also left-exact. The theory comes in through the notion of injective resolutions (of the second variable for the case on the agenda). Naturally, this presupposes the notion of an injective module. The theory has a high degree of sophistication, so it would be required to dedicate a substantial part of the chapter to fill in all details that are expected in a textbook. Therefore, one will give the main definitions and a few properties enough to follow the contents with no detriment to a full understanding. A reader interested in the full disclosure of the theory is referred to the more specialized literature ([107], [25] and, for the noncommutative case, [49]); see History 6.5.3.

Definition 6.2.72. An $R$-module $N$ is injective if the functor $\operatorname{Hom}(, N)$ is right-exact; in other words, if for any injective $\operatorname{map} M^{\prime} \hookrightarrow M$ the induced map $\operatorname{Hom}(M, N) \rightarrow$ $\operatorname{Hom}\left(M^{\prime}, N\right)$ is surjective.
Next are the most basic properties of injective modules:
I1. The following assertions are equivalent for an $R$-module $N$ :
$\left(i_1\right) N$ is injective.
(i $i_2$ ) (Direct summand) Any inclusion $N \subset M$ splits.
(i $\mathrm{i}_3$ ) (Ideal Ext-criterion) $\operatorname{Ext}_R^1(R / J, N)=0$ for any ideal $J \subset R$.
(i $\left.i_3\right)$ (Module Ext-criterion) $\operatorname{Ext}_R^1(M, N)=0$ for any $R$-module $M$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Rees theorem and perfect ideals

Another important use of the long exact sequence of $\operatorname{Ext}_R\left(M, _\right)$is the next result, used in the characterization of depth in terms of Ext (Corollary 5.3.6).

Proposition 6.2.76 (Rees “décalage” to Hom). Given $R$-modules $M, N$ and an $N$-sequence $\left{a_1, \ldots, a_n\right} \subset R$ contained in the annihilator of $M$, one has
$$\left{\begin{array}{l} \operatorname{Ext}_R^n(M, N) \simeq \operatorname{Hom}_R\left(M, N /\left(a_1, \ldots, a_n\right) N\right) \ \operatorname{Ext}_R^i(M, N)={0}, \quad 0 \leq i \leq n-1 \end{array}\right.$$
Proof. Induct on $n$. Consider the exact sequence
$$0 \rightarrow N \stackrel{. a_1}{\longrightarrow} N \rightarrow N / a_1 N \rightarrow 0$$

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Ext via injective resolutions

II。以下断言等价于 $R$-模块 $N$ :
$\left(i_1\right) N$ 是单射的。
(我 $i_2$ )（直接求和) 任何包含 $N \subset M$ 分裂。
(我i $\left.i_3\right)$ (理想的扩展准则 $) \operatorname{Ext}_R^1(R / J, N)=0$ 对于任何理想 $J \subset R$.
(我 $\left.i_3\right)$ （模块扩展标准) $\operatorname{Ext}_R^1(M, N)=0$ 对于任何 $R$-模块 $M$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Rees theorem and perfect ideals

$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符

$\$ \$$lleft {$$
\operatorname{Ext}_R^n(M, N) \simeq \operatorname{Hom}_R\left(M, N /\left(a_1, \ldots, a_n\right) N\right) \operatorname{Ext}_R^i(M, N)=0, \quad 0 \leq i \leq n-1
$$|正确的。 Proof.Inducton \$$ \$\$$. Considertheexactsequence \ \$$

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