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# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH483 The theorem of Auslander-Buchsbaum

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The theorem of Auslander-Buchsbaum

In this part, one discusses a theorem of fundamental importance for the rest of the theory.

Theorem 6.2.19 (Auslander-Buchsbaum formula). Let $(R, \mathfrak{m})$ denote a local ring and let $M$ stand for a finitely generated $R$-module of finite homological dimension. Then
$$\mathrm{hd}R M+\operatorname{depth} M=\operatorname{depth} R$$ Proof. One proceeds by induction on depth $R$. (1) $\operatorname{depth} R=0$. One claims that any finitely generated $R$-module of finite homological dimension is free. Supposing otherwise, let hd ${ }_R M=n>0$. Letting $Z:=\operatorname{coker}\left(F_n \rightarrow F{n-1}\right)$ along a free resolution of $M$ of length $n$, one has hd ${ }_R Z=1$. Rename $Z$ to $M$ and take a minimal free resolution $0 \rightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \rightarrow M \rightarrow 0$, with $F_1 \subset \mathfrak{m} F_0$. By assumption, $\mathfrak{m}$ is an associated prime of $R$, say, $\mathfrak{m}=0: r$, with $0 \neq r \in R$. Multiplying by $r$ through $F_1 \subset \mathfrak{m} F_0$ yields $r F_1={0}$, hence $F_1={0}$ and $M$ is free; this is a contradiction.
(2) $\operatorname{depth} R>0$.
First, let depth $M=0$. In particular, $M$ is not projective, hence in a finite free presentation $0 \rightarrow Z \rightarrow F \rightarrow M \rightarrow 0$ one has $\operatorname{hd}_R Z=$ hd $_R M-1$ by Corollary 6.2.15,while depth $Z=$ depth $M+1=1$ by Proposition 5.3.20(1). On the other hand, picking a regular element $a \in \mathfrak{m}$ gives depth $R /(a)=\operatorname{depth} R-1$ and, since $a$ is also regular on $F$, hence on $Z$ as well, one has $\operatorname{depth} Z / a Z=\operatorname{depth} Z-1=1-1=0$. By the inductive hypothesis as applied to the ring $R /(a)$ and the $R /(a)$-module $Z / a Z$ of depth zero, and drawing upon Proposition 6.2.18, one gets
\begin{aligned} \operatorname{hd}R M & =\operatorname{hd}_R Z+1=\operatorname{hd}{R /(a)} Z / a Z+1=\operatorname{depth} R /(a)-\operatorname{depth} Z / a Z+1 \ & =\operatorname{depth} R-1+0+1=\operatorname{depth} R+0=\operatorname{depth} R+\operatorname{depth} M \end{aligned}

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The theorem of Vasconcelos

A second fundamental theorem is as follows.
Theorem 6.2.33 (Vasconcelos). Let $(R, \mathrm{~m})$ denote a local ring and let $I \subset \mathrm{m}$ stand for an ideal. The following conditions are equivalent:
(i) I is generated by an $R$-sequence.
(ii) $\mathrm{hd}_R R / I<\infty$ and $I / I^2$ is a free $R / I$-module.
Proof. (i) $\Rightarrow$ (ii) Let $\mathbf{a}=\left{a_1, \ldots, a_n\right}$ denote an $R$-sequence generating $I$. The issue of the finite homological dimension has been treated in Example 6.2.29 (a). As to the stated freeness, the fastest is to use the fact to be established independently in Subsection 6.3 to the effect that the module of syzygies of $I$ is generated by the so-called trivial syzygies of $\mathbf{a}$, namely, those of the form $a_j \cdot a_i-a_i \cdot a_j=0$, for $1 \leq i \leq j \leq n$. This implies that $I$ admits a free presentation $0 \rightarrow Z \rightarrow F \longrightarrow I \rightarrow 0$, with $Z \subset I F$. Tensoring with $R / I$ over $R$ yields immediately $F / I F \simeq I / I^2$.
(A direct proof of the freeness of $I / I^2$ is available by applying the definition of $R$-sequence to argue that the residues of $\left{a_1, \ldots, a_n\right}$ as elements of the $R$-module $I / I^2$ form a free basis.)
(ii) $\Rightarrow$ (i) This is of course the hard direction.
To avoid confusion, the residue in $I / I^2$ of an element $a \in I$ will be denoted $\tilde{a}$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The theorem of Auslander-Buchsbaum

$$\text { hd } R M+\operatorname{depth} M=\operatorname{depth} R$$

(2) depth $R>0$. 通过推论 6.2.15，而深度 $Z=$ 深度 $M+1=1$ 根据是案 5.3.20(1)。另一方面，选择一个常规元責 $a \in \mathfrak{m}$ 给出深度
$R /(a)=\operatorname{depth} R-1$ 并且，因为 $a$ 也经常上 $F$ ，因此 $Z$ 还有，一个有depth $Z / a Z=\operatorname{depth} Z-1=1-1=0$. 通过应用 于环的归纳假设 $R /(a)$ 和 $R /(a)$-模块 $Z / a Z$ 深度为零，并根据命题 6.2 .18 得出
hd $R M=\operatorname{hd}_R Z+1=$ hd $R /(a) Z / a Z+1=\operatorname{depth} R /(a)-\operatorname{depth} Z / a Z+1 \quad=\operatorname{depth} R-1+0+1=\operatorname{depth} R+0=\operatorname{depth} R+\operatorname{depth} M$

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The theorem of Vasconcelos

(i)।是由一个 $R-|$ 顺序。
(二) $\operatorname{hd}_R R / I<\infty$ 和 $I / I^2$ 是免费的 $R / I$-模块。

$0 \rightarrow Z \rightarrow F \longrightarrow I \rightarrow 0$ ，和 $Z \subset I F$. 张量与 $R / I$ 超过 $R$ 立即产生 $F / I F \simeq I / I^2$.
（自由度的直接证明 $I / I^2$ 可通过应用的定义获得 $R$ – 序列论证的残留物 $\backslash$ lef $t$ 缺少或无法识别的分隔符

(ii) $\Rightarrow$ (i) 这当然是硬方向。

## MATLAB代写

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