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物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|PHYS2941 Historical and Other Comments on the Hamilton-Jacobi Equation

如果你也在 怎样代写量子力学Quantum mechanics PHYS2941这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。量子力学Quantum mechanics在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个结合了经典场论、狭义相对论和量子力学的理论框架。QFT在粒子物理学中用于构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中用于构建准粒子的模型。

量子力学Quantum mechanics产生于跨越20世纪大部分时间的几代理论物理学家的工作。它的发展始于20世纪20年代对光和电子之间相互作用的描述,最终形成了第一个量子场理论–量子电动力学。随着微扰计算中各种无限性的出现和持续存在,一个主要的理论障碍很快出现了,这个问题直到20世纪50年代随着重正化程序的发明才得以解决。第二个主要障碍是QFT显然无法描述弱相互作用和强相互作用,以至于一些理论家呼吁放弃场论方法。20世纪70年代,规整理论的发展和标准模型的完成导致了量子场论的复兴。

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物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|PHYS2941 Historical and Other Comments on the Hamilton-Jacobi Equation

物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Historical and Other Comments on the Hamilton-Jacobi Equation

A version of the Hamilton-Jacobi equation first appeared in Hamilton’s researches in the 1830’s into variational formulations of mechanics and their relation to optics. Hamilton discovered the form of the classical equations of motion that now bears his name, and he realized that their complete solution was equivalent to solving a certain partial differential equation, Eq. (39). These ideas were generalized by Jacobi a few years later, who developed methods for solving Eq. (32), what we now call the time-independent Hamilton-Jacobi equation. Jacobi used these methods to solve some nontrivial problems in classical mechanics.

Renewed interest in the Hamilton-Jacobi equation arose in the period of the old quantum theory (1900-1925), after Sommerfeld’s and Wilson’s analysis of Bohr’s quantization condition, which is expressed in terms of action integrals like (13). The old quantum theory was a collection of rules that were incomplete, logically unclear, and of limited applicability, but which gave excellent agreement with experiment in a number of important cases such as the specific heat of solids and the spectrum of hydrogen, including its fine structure. As a result, the period 1911-1925 saw a heightened interest in the formal structure of classical mechanics, in the hope that it would elucidate the difficulties of the old quantum theory. These efforts were summarized in Born’s book The Mechanics of the Atom, published just about the time that Heisenberg’s and Schrödinger’s (modern) quantum theory emerged. After this, interest in classical mechanics, at least in physics circles, fell to almost zero.
In more recent times, since the advent of computers and the discovery of chaos, classical mechanics has enjoyed another revival, partly stimulated also by developments in mathematics such as the KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) theorem. It is now recognized that the Hamilton-Jacobi equation has no global solutions in the case of chaotic motion, and that this has an impact on the morphology and other features of the quantum wave function.

In the language of classical mechanics, the solution $S$ of the Hamilton-Jacobi equation is the generator of the canonical transformation that trivializes the classical equations of motion. The existence of this transformation requires that the system have a sufficient number of commuting constants of motion (the classical analog of a complete set of commuting observables). The constants of motion are conveniently expressed as functions of the actions, themselves constants of motion that generate periodic (and commuting) flows in phase space. The variables canonically conjugate to the actions are certain angles. Such matters are discussed in advanced courses in classical mechanics.
Because of problems with chaos and other issues, the Hamilton-Jacobi equation and the other equations of WKB theory are harder to solve in the multidimensional case, so the most common applications of WKB theory are in one dimension. We now turn to that case.

物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|One-Dimensional WKB Problems

We consider now the one-dimensional Schrödinger equation,
$$
-\frac{\hbar^2}{2 m} \psi^{\prime \prime}(x)+V(x) \psi(x)=E \psi(x)
$$
in which we use the one-dimensional WKB ansatz,
$$
\psi(x)=A(x) e^{i S(x) / \hbar}
$$
The Hamilton-Jacobi equation is the one-dimensional version of Eq. (25),
$$
\frac{1}{2 m}\left(\frac{d S}{d x}\right)^2+V(x)=E
$$

and the amplitude transport equation is the one-dimensional version of Eq. (29),
$$
\frac{d}{d x}\left(A^2 \frac{d S}{d x}\right)=0
$$
We solve the Hamilton-Jacobi equation (44) algebraically for $d S / d x$, obtaining
$$
\frac{d S}{d x}=p(x)= \pm \sqrt{2 m[E-V(x)]}
$$

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量子力学代写

物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Historical and Other Comments on the Hamilton-Jacobi Equation


Hamilton-Jacobi 方程的一个版本首先出现在 Hamilton 在 1830 年代对力学的变分公式及其与光学的关系的研究中。汉密尔顿发现了现在以他的名字命名的经典运动方程的形式,并且他意识到它们的完整解等同于求解某个偏微分方程,Eq。(39)。几年后,雅可比推广了这些想法,他开发了求解方程式的方法。(32),我们现在称之为时间无关的 Hamilton-Jacobi 方程。雅可比用这些方法解决了经典力学中的一些重要问题。

在旧量子理论时期(1900-1925),在 Sommerfeld 和 Wilson 对 Bohr 的量子化条件的分析之后,人们对 Hamilton-Jacobi 方程重新产生了兴趣,该条件用像 (13) 这样的作用积分来表示。旧的量子理论是一组不完整、逻辑不清、适用性有限的规则,但在许多重要情况下与实验非常吻合,例如固体的比热和氢的光谱,包括它的精细结构。结果,1911-1925 年期间人们对经典力学的形式结构产生了浓厚的兴趣,希望它能阐明旧量子理论的困难。这些努力总结在玻恩的《原子力学》一书中,发表的时间正好是海森堡和薛定谔的(现代)量子理论出现的时间。在此之后,对经典力学的兴趣,至少在物理学界,几乎降为零。
最近,自从计算机的出现和混沌的发现以来,经典力学又一次复兴,部分原因是数学的发展,如 KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) 定理。现在认识到,Hamilton-Jacobi 方程在混沌运动的情况下没有全局解,这对量子波函数的形态和其他特征有影响。

用经典力学的语言,解决方案SHamilton-Jacobi 方程的 是使经典运动方程平凡化的规范变换的生成器。这种变换的存在要求系统具有足够数量的通勤运动常数(一组完整的通勤可观察量的经典模拟)。运动常数可以方便地表示为动作的函数,它们本身是在相空间中产生周期性(和通勤)流的运动常数。典型地与动作共轭的变量是某些角度。这些问题在经典力学的高级课程中进行了讨论。
由于混沌等问题,Hamilton-Jacobi 方程和 WKB 理论的其他方程在多维情况下更难求解,因此 WKB 理论最常见的应用是在一维情况下。我们现在转向那个案例。

物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|One-Dimensional WKB Problems


我们现在考虑一维薛定谔方程,
$$
-\frac{\hbar^2}{2 m} \psi^{\prime \prime}(x)+V(x) \psi(x)=E \psi(x)
$$
其中我们使用一维 WKB ansatz,
$$
\psi(x)=A(x) e^{i S(x) / \hbar}
$$
Hamilton-Jacobi 方程是方程式的一维版本。(25),
$$
\frac{1}{2 m}\left(\frac{d S}{d x}\right)^2+V(x)=E
$$
振幅传输方程是方程式的一维版本。(29),
$$
\frac{d}{d x}\left(A^2 \frac{d S}{d x}\right)=0
$$
我们代数地求解 Hamilton-Jacobi 方程 (44) 为 $d S / d x$, 获得
$$
\frac{d S}{d x}=p(x)= \pm \sqrt{2 m[E-V(x)]}
$$

物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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