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# 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|PHYS3001 The Ehrenfest Relations

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## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|The Ehrenfest Relations

Let us continue with a single particle moving in 3-dimensional space under the influence of the potential $V(\mathbf{x}, t)$. The Hamiltonian is Eq. (47). Let us work out the Heisenberg equations of motion (22) for the position $\mathrm{x}$ and momentum $\mathbf{p}$. Neither of these operators has any explicit time dependence, so the equations of motion are
$$\begin{gathered} \dot{\mathbf{x}}=-\frac{i}{\hbar}[\mathbf{x}, H] \ \dot{\mathbf{p}}=-\frac{i}{\hbar}[\mathbf{p}, H] \end{gathered}$$
We omit the $H$-subscripts, but these operators are in the Heisenberg picture. The commutators can be evaluated with the help of the results of Prob. 4.4.
The result is
\begin{aligned} & \dot{\mathbf{x}}=\frac{\mathbf{p}}{m}, \ & \dot{\mathbf{p}}=-\nabla V(\mathbf{x}, t) . \end{aligned}

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Particles in Electromagnetic Fields

Let us now consider a single particle of charge $q$ moving in an electromagnetic field, which for generality we allow to be time-dependent. The fields are given in terms of the scalar potential $\Phi$ and the vector potential $\mathbf{A}$ by
\begin{aligned} & \mathbf{E}=-\nabla \Phi-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \ & \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} \end{aligned}

The classical equations of motion are expressed in terms of $\mathbf{E}$ and $\mathbf{B}$,
$$m \mathbf{a}=q\left[\mathbf{E}(\mathbf{x}, t)+\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{x}, t)\right]$$
where $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}$ and $\mathbf{a}=\ddot{\mathbf{x}}$. But the classical Hamiltonian requires the use of the potentials $\Phi$ and $\mathbf{A}$,
$$H=\frac{1}{2 m}\left[\mathbf{p}-\frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)\right]^2+q \Phi(\mathbf{x}, t)$$
which is a single-particle version of Eq. (B.86). The momentum p appearing here is the canonical momentum, related to the velocity by
$$\mathbf{p}=m \mathbf{v}+\frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)$$
which is not to be confused with the kinetic momentum $\mathbf{p}_{\text {kin }}=m \mathbf{v}$. In the presence of a magnetic field, these two momenta are not the same. See the discussion in Sec. B.11. Because of the relationship (70), the first major term of the Hamiltonian (69) is just the kinetic energy, (1/2) $m v^2$, albeit written in a complicated way.

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|The Ehrenfest Relations

$$\dot{\mathbf{x}}=-\frac{i}{\hbar}[\mathbf{x}, H] \dot{\mathbf{p}}=-\frac{i}{\hbar}[\mathbf{p}, H]$$

$$\dot{\mathbf{x}}=\frac{\mathbf{p}}{m}, \quad \dot{\mathbf{p}}=-\nabla V(\mathbf{x}, t)$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Particles in Electromagnetic Fields

$$\mathbf{E}=-\nabla \Phi-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$$

$$m \mathbf{a}=q\left[\mathbf{E}(\mathbf{x}, t)+\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{x}, t)\right]$$

$$H=\frac{1}{2 m}\left[\mathbf{p}-\frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)\right]^2+q \Phi(\mathbf{x}, t)$$

$$\mathbf{p}=m \mathbf{v}+\frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t)$$

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