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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域,图论是对图的研究,涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科,在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来,图论已经成为各种学科的重要数学工具,从运筹学和化学到遗传学和语言学,从电气工程和地理到社会学和建筑。同时,它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

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The shortest way to travel between two locations is perhaps one of the oldest questions. As any mathematics student knows, the answer to this question is a line. But this relies on an $x y$-plane with no barriers to traveling in a straight line. What happens when you must restrict yourself to an existing structure, such as roadways or rail lines? This problem can be described in graph theoretic terms as the search for a shortest path on a weighted graph. Recall that a path is a sequence of vertices in which there is an edge between consecutive vertices and no vertex is repeated. As with the algorithms for the Traveling Salesman Problem, the weight associated to an edge may represent more than just distance (e.g., cost or time) and the shortest path really indicates the path of least total weight.

As with the previous two topics in this chapter, our study of shortest paths can be traced to a specific moment of time. In 1956 Edsger W. Dijkstra proposed the algorithm we are about to study not out of necessity for finding a shortest route, but rather as a demonstration of the power of a new “automatic computer” at the Mathematical Centre in Amsterdam. The goal was to have a question easily understood by a general audience while also allowing for audience participation in determining the inputs of the algorithm. In Dijkstra’s own words “the demonstration was a great success” [23]. Perhaps more surprising is how important this algorithm would become to modern societyalmost every GIS (Geographic Information System, or mapping software) uses a modification of Dijkstra’s Algorithm to provide directions. In addition, Dijkstra’s Algorithm provides the backbone of many routing systems and some studies in epidemiology.

Note, we will only investigate how to find a shortest path since determining if a shortest path exists is quickly answered by simply knowing if the graph is connected. The following section will consider implications of shortest paths.

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Numerous versions of Dijkstra’s Algorithm exist, though two basic descriptions adhere to Dijkstra’s original design (see [22]). In one, a shortest path from your chosen starting and ending vertex is found. Though useful in its own right, we will study the more general version that finds the shortest path from a specific vertex to all other vertices in the graph (since if we only cared for the shortest path from $a$ to $b$, we could halt the algorithm once $b$ is reached).
Dijkstra’s Algorithm is a bit more complex than the algorithms we have studied so far. Each vertex is given a two-part label $L(v)=(x,(w(v))$. The first portion of the label is the name of the vertex used to travel to $v$. The second part is the weight of the path that was used to get to $v$ from the designated starting vertex. At each stage of the algorithm, we will consider a set of free vertices, denoted by an $F$ below. Free vertices are the neighbors of previously visited vertices that are themselves not yet visited.

Dijkstra’s Algorithm
Input: Weighted connected simple graph $G=(V, E, w)$ and designated Start vertex.
Steps:

  1. For each vertex $x$ of $G$, assign a label $L(x)$ so that $L(x)=(-, 0)$ if $x=$ Start and $L(x)=(-, \infty)$ otherwise. Highlight Start.
  2. Let $u=$ Start and define $F$ to be the neighbors of $u$. Update the labels for each vertex $v$ in $F$ as follows:
    if $w(u)+w(u v)<w(v)$, then redefine $L(v)=(u, w(u)+w(u v))$ otherwise do not change $L(v)$
  3. Highlight the vertex with lowest weight as well as the edge $u v$ used to update the label. Redefine $u=v$.
  4. Repeat Steps (2) and (3) until each vertex has been reached. In all future iterations, $F$ consists of the un-highlighted neighbors of all previously highlighted vertices and the labels are updated only for those vertices that are adjacent to the last vertex that was highlighted.
  5. The shortest path from Start to any other vertex is found by tracing back using the first component of the labels. The total weight of the path is the weight given in the second component of the ending vertex.
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图论代写

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在两个地点之间旅行的最短路径可能是最古老的问题之一。任何学数学的学生都知道,这道题的答案是一条线。但这依赖于一个

  • 直线飞行没有障碍的飞机。当您必须将自己限制在现有结构(例如公路或铁路线)时会发生什么?这个问题可以用图论术语描述为在加权图上搜索最短路径。回想一下,路径是一系列顶点,其中连续顶点之间有一条边,并且没有重复的顶点。与旅行商问题的算法一样,与边关联的权重可能不仅仅代表距离(例如,成本或时间),而且最短路径实际上表示总权重最小的路径。

与本章的前两个主题一样,我们对最短路径的研究可以追溯到特定的时刻。1956 年,Edsger W. Dijkstra 提出了我们即将研究的算法,并非出于寻找最短路线的需要,而是为了展示阿姆斯特丹数学中心新型“自动计算机”的强大功能。目标是让普通观众容易理解的问题,同时也允许观众参与确定算法的输入。用 Dijkstra 自己的话来说,“演示非常成功”[23]。也许更令人惊讶的是这种算法对现代社会的重要性几乎每个 GIS(地理信息系统,或地图软件)都使用 Dijkstra 算法的修改来提供方向。此外,

请注意,我们将只研究如何找到最短路径,因为确定是否存在最短路径可以通过简单地了解图形是否连通来快速回答。下一节将考虑最短路径的含义。

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存在许多版本的 Dijkstra 算法,但有两个基本描述遉循 Dijkstra 的原始设计(参见 [22])。其中之一是找到 从您选择的起点和终点开始的最短路径。虽然它本身很有用,但我们将研究更通用的版本,即找到从特定顶点 到图中所有其他顶点的最短路径 (因为如果我们只关心从 $a$ 到 $b$ ,我们可以暂停算法一次 $b$ 到达了)。
Dijkstra 算法比我们目前研究的算法要复杂一些。每个顶点都有一个两部分标签 $L(v)=(x,(w(v))$. 标签的第 一部分是用于前往的顶点的名称 $v$. 第二部分是用于到达的路径的权重 $v$ 从指定的起始顶点。在算法的每个阶段, 我们都会考虑一组自由顶点,用 $F$ 以下。自由顶点是先前访问过的顶点的邻居,这些顶点本身还没有被访问 过。
Dijkstra 算法
输入: 加权连通简单图 $G=(V, E, w)$ 并指定起始顶点。 脚步:

  1. 对于每个顶点 $x$ 的 $G$, 分配标签 $L(x)$ 以便 $L(x)=(-, 0)$ 如果 $x=$ 开始和 $L(x)=(-, \infty)$ 否则。突出显 示开始。
  2. 让 $u=$ 开始和定义 $F$ 成为的邻居 $u$. 更新每个顶点的标签 $v$ 在 $F$ 如下:
    如果 $w(u)+w(u v)<w(v)$ ,然后重新定义 $L(v)=(u, w(u)+w(u v))$ 否则不要改变 $L(v)$
  3. 突出显示权重最低的顶点和边 $u v$ 用于更新标签。重新定义 $u=v$.
  4. 重复步骙 (2) 和 (3),直到到达每个顶点。在所有末来的迭代中, $F$ 由所有先前突出显示的顶点的末突 出显示的邻居组成,并且仅针对与最后突出显示的顶点相邻的那些顶点更新标签。
  5. 从 Start 到任何其他顶点的最短路径是通过使用标签的第一个组件追溯找到的。路径的总权重是在结束 顶点的第二个分量中给出的权重。
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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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