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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|AMATH562 Donsker’s construction

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Donsker’s construction

Donsker’s invariance theorem shows that Brownian motion is a limit of linearly interpolated random walks – pretty much in the way we have started the discussion in Chapter 1. As before, the difficult point is to prove the sample continuity of the limiting process.

Let, on a probability space $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}), \epsilon_n, n \geqslant 1$, be iid Bernoulli random variables such that $\mathbb{P}\left(\epsilon_1=1\right)=\mathbb{P}\left(\epsilon_1=-1\right)=\frac{1}{2}$. Then
$$S_n:=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_n$$
is a simple random walk. Interpolate linearly and apply Gaussian scaling
$$S^n(t):=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(S_{\lfloor n t\rfloor}-(n t-\lfloor n t\rfloor) \epsilon_{\lfloor n t\rfloor+1}\right), \quad t \in[0,1]$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The Bachelier-Kolmogorov point of view

The starting point of this construction is the observation that the finite dimensional marginal distributions of a Brownian motion are Gaussian random variables. More precisely, for any number of times $t_0=0<t_1<\cdots<t_n, t_j \in I$, and all Borel sets $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ the finite dimensional distributions
$$p_{t_1, \ldots, t_n}\left(A_1 \times \cdots \times A_n\right)=\mathbb{P}\left(B_{t_1} \in A_1, \ldots, B_{t_n} \in A_n\right)$$
are mean-zero normal laws with covariance matrix $C=\left(t_j \wedge t_k\right){j, k=1, \ldots, n}$. From Theorem 2.6 we know that they are given by \begin{aligned} & p{t_1, \ldots, t_n}\left(A_1 \times \cdots \times A_n\right) \ & \quad=\frac{1}{(2 \pi)^{n / 2}} \frac{1}{\sqrt{\operatorname{det} C}} \int_{A_1 \times \cdots \times A_n} \exp \left(-\frac{1}{2}\left\langle x, C^{-1} x\right\rangle\right) d x \ & \quad=\frac{1}{(2 \pi)^{n / 2} \sqrt{\prod_{j=1}^n\left(t_j-t_{j-1}\right)}} \int_{A_1 \times \cdots \times A_n} \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \frac{\left(x_j-x_{j-1}\right)^2}{t_j-t_{j-1}}\right) d x \end{aligned}

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Donsker’s construction

Donsker 不变性定理表明布朗运动是线性揷值随机游走的极限一-与我们在第 1 章开始讨论的方式非常相似。 和前面一样，难点是证明极限过程的样本连续性。

$$S_n:=\epsilon_1+\cdots+\epsilon_n$$

$$S^n(t):=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(S_{\lfloor n t\rfloor}-(n t-\lfloor n t\rfloor) \epsilon_{\lfloor n t\rfloor+1}\right), \quad t \in[0,1]$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The Bachelier-Kolmogorov point of view

$t_0=0<t_1<\cdots<t_n, t_j \in I$ ，和所有 Borel 集 $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 有限维分布
$$p_{t_1, \ldots, t_n}\left(A_1 \times \cdots \times A_n\right)=\mathbb{P}\left(B_{t_1} \in A_1, \ldots, B_{t_n} \in A_n\right)$$

$$p t_1, \ldots, t_n\left(A_1 \times \cdots \times A_n\right) \quad=\frac{1}{(2 \pi)^{n / 2}} \frac{1}{\sqrt{\operatorname{det} C}} \int_{A_1 \times \cdots \times A_n} \exp \left(-\frac{1}{2}\left\langle x, C^{-1} x\right\rangle\right) d x=\frac{1}{(2 \pi)^{n / 2} \sqrt{\prod_{j=1}^n\left(t_j-t_{j-1}\right)}} \int_{A_1 \times \cdots \times A_n}^n-\frac{\exp }{}\left(-\frac{1}{j=1}\right.$$

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