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数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|AMATH562 The Haar and Schauder systems

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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The Haar and Schauder systems

The Haar and Schauder systems. We will now give an explicit construction of Brownian motion. For this we need the families of Haar $H_{2^j+k}$ and Schauder $S_{2^j+k}$ functions. For $n=0$ and $n=2^j+k, j \geqslant 0, k=0,1, \ldots, 2^j-1$, they are defined as
\begin{aligned} & H_0(t)=1, \ & S_0(t)=t \ & H_{2^j+k}(t)= \begin{cases}+2^{\frac{j}{2}}, & \text { on }\left[\frac{k}{2^j}, \frac{2 k+1}{2^{j+1}}\right) \ -2^{\frac{j}{2}}, & \text { on }\left[\frac{2 k+1}{2^{j+1}}, \frac{k+1}{2^j}\right) \ 0, & \text { otherwise }\end{cases} \ & S_{2^j+k}(t)=\left\langle\mathbb{1}{[0, t]}, H{2^j+k}\right\rangle_{L^2} \ & =\int_0^t H_{2^j+k}(s) d s, \ & \operatorname{supp} S_n=\operatorname{supp} H_n . \ & \end{aligned}

For $n=2^j+k$ the graphs of the Haar and Schauder functions are shown in Figures 3.1 and 3.2 .

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Lévy 1940; Ciesielski 1959

Theorem (Lévy 1940; Ciesielski 1959). There is a probability space $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ and a sequence of iid standard normal random variables $\left(G_n\right){n \geqslant 0}$ such that $$W(t, \omega)=\sum{n=0}^{\infty} G_n(\omega)\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, H_n\right\rangle{L^2}, \quad t \in[0,1],$$
is a Brownian motion.
Proof. Let $W(t)$ be as in Lemma 3.1 where we take the Haar functions $H_n$ as orthonormal system in $L^2(d t)$. As probability space $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ we use the probability space which supports the (countably many) independent Gaussian random variables $\left(G_n\right)_{n \geqslant 0}$ from the construction of $W(t)$. It is enough to prove that the sample paths $t \mapsto W(t, \omega)$ are continuous. By definition, the partial sums
$$t \mapsto W_N(t, \omega)=\sum_{n=0}^{N-1} G_n(\omega)\left\langle\mathbb{1}{[0, t)}, H_n\right\rangle{L^2}=\sum_{n=0}^{N-1} G_n(\omega) S_n(t) .$$
are continuous for all $N \geqslant 1$, and it is sufficient to prove that (a subsequence of) $\left(W_N(t)\right)_{N \geqslant 0}$ converges uniformly to $W(t)$.

The next step of the proof is similar to the proof of the Riesz-Fischer theorem on the completeness of $L^p$ spaces, see e.g. [169, Theorem 12.7]. Consider the random variable
$$\Delta_j(t):=W_{2^{j+1}}(t)-W_{2^j}(t)=\sum_{k=0}^{2^j-1} G_{2^j+k} S_{2^j+k}(t)$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The Haar and Schauder systems

Haar 和 Schauder 系统。我们现在将给出布朗运动的明确构造。为此，我们需要哈尔的家人 $H_{2 j}+k$ 和碋栗 $S_{2 j^{\prime}} k$ 功能。为了 $n=0$ 和 $n=2^j+k, j \geqslant 0, k=0,1, \ldots, 2^j-1$ ，它们被定义为
$H_0(t)=1, \quad S_0(t)=t H_{2^j+k}(t)=\left{+2^{\frac{j}{2}}, \quad\right.$ on $\left[\frac{k}{2^j}, \frac{2 k+1}{2^{j+1}}\right)-2^{\frac{j}{2}}, \quad$ on $\left[\frac{2 k+1}{2^{j+1}}, \frac{k+1}{2^j}\right) 0, \quad$ otherwise $\quad S_{2^j+k}(t)=\left\langle\mathbb{1}[0, t], H 2^j+k\right\rangle_{L^2}=\int_0$ 为了 $n=2^j+k$ Haar 和 Schauder 函数的图形如图 3.1 和 3.2 所示。

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Lévy 1940; Ciesielski 1959

Theor (Lévy 1940; Ciesielski 1959)。存在概率空间 $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ 和一系列 iid 标准正态随机变量 $\left(G_n\right) n \geqslant 0$ 这 样
$$W(t, \omega)=\sum n=0^{\infty} G_n(\omega)\left\langle\mathbb{1}[0, t), H_n\right\rangle L^2, \quad t \in[0,1]$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。