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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|MS-E2121 Brownian motion as a Gaussian process

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Brownian motion as a Gaussian process

Recall that a one-dimensional random variable $\Gamma$ is Gaussian if it has the characteristic function
$$\mathbb{E} e^{i \xi \Gamma}=e^{i m \xi-\frac{1}{2} \sigma^2 \xi^2}$$
for some real numbers $m \in \mathbb{R}$ and $\sigma \geqslant 0$. If we differentiate (2.1) two times with respect to $\xi$ and set $\xi=0$, we see that
$$m=\mathbb{E} \Gamma \text { and } \quad \sigma^2=\mathbb{V} \Gamma$$
A random vector $\Gamma=\left(\Gamma_1, \ldots, \Gamma_n\right) \in \mathbb{R}^n$ is Gaussian, if $\langle\ell, \Gamma\rangle$ is for every $\ell \in \mathbb{R}^n$ a one-dimensional Gaussian random variable. This is the same as to say that
$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i \mathbb{E}\langle\xi, \Gamma\rangle-\frac{1}{2} \mathbb{V}\langle\xi, \Gamma\rangle}$$
Setting $m=\left(m_1, \ldots, m_n\right) \in \mathbb{R}^n$ and $\Sigma=\left(\sigma_{j k}\right){j, k=1 \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ where $$m_j:=\mathbb{E} \Gamma_j \quad \text { and } \quad \sigma{j k}:=\mathbb{E}\left(\Gamma_j-m_j\right)\left(\Gamma_k-m_k\right)=\operatorname{Cov}\left(\Gamma_j, \Gamma_k\right),$$
we can rewrite (2.3) in the following form
$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i\langle\xi, m\rangle-\frac{1}{2}\langle\xi, \Sigma \xi\rangle}$$
We call $m$ the mean vector and $\Sigma$ the covariance matrix of $\Gamma$.

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The finite dimensional distributions

Let us quickly establish some first consequences of the definition of Brownian motion. To keep things simple, we assume throughout this section that $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ is a onedimensional Brownian motion. 2.1 Proposition. Let $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ be a one-dimensional Brownian motion. Then $B_t, t \geqslant 0$, Ex. 2.1 are Gaussian random variables with mean 0 and variance $t$ :
$\mathbb{E} e^{i \xi B_t}=e^{-t \xi^2 / 2}$ for all $t \geqslant 0, \xi \in \mathbb{R}$.

Proof. Set $\phi_t(\xi)=\mathbb{E} e^{i \xi B_t}$. If we differentiate $\phi_t$ with respect to $\xi$, and use integration by parts we get
\begin{aligned} \phi_t^{\prime}(\xi)=\mathbb{E}\left(i B_t e^{i \xi B_t}\right) & \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{=} \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi}(i x) e^{-x^2 /(2 t)} d x \ & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi}(-i t) \frac{d}{d x} e^{-x^2 /(2 t)} d x \ & \stackrel{\text { parts }}{=}-t \xi \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi} e^{-x^2 /(2 t)} d x \ & =-t \xi \phi_t(\xi) \end{aligned}
Since $\phi_t(0)=1,(2.5)$ is the unique solution of the differential equation
$$\frac{\phi_t^{\prime}(\xi)}{\phi_t(\xi)}=-t \xi$$
From the elementary inequality $1 \leqslant \exp \left(\left[\frac{y}{2}-c\right]^2\right)$ we see that $e^{c y} \leqslant e^{c^2} e^{y^2 / 4}$ for all $c, y \in \mathbb{R}$. Therefore, $e^{c y} e^{-y^2 / 2} \leqslant e^{c^2} e^{-y^2 / 4}$ is integrable. Considering real and imaginary parts separately, it follows that the integrals in (2.5) converge for all $\xi \in \mathbb{C}$ and define an analytic function.

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Brownian motion as a Gaussian process

$$\mathbb{E} e^{i \xi \Gamma}=e^{i m \xi-\frac{1}{2} \sigma^2 \xi^2}$$

$$m=\mathbb{E} \Gamma \text { and } \quad \sigma^2=\mathbb{V} \Gamma$$

$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i \mathbb{E}(\xi, \Gamma\rangle-\frac{1}{2} \mathrm{~V}\langle\xi, \Gamma\rangle}$$

$$m_j:=\mathbb{E} \Gamma_j \quad \text { and } \quad \sigma j k:=\mathbb{E}\left(\Gamma_j-m_j\right)\left(\Gamma_k-m_k\right)=\operatorname{Cov}\left(\Gamma_j, \Gamma_k\right),$$

$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i\langle\xi, m\rangle-\frac{1}{2}\langle\xi, \Sigma \xi\rangle}$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|The finite dimensional distributions

$$\phi_t^{\prime}(\xi)=\mathbb{E}\left(i B_t e^{i \xi B_t}\right) \stackrel{(\mathrm{B} 3)}{=} \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi}(i x) e^{-x^2 /(2 t)} d x \quad=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi}(-i t) \frac{d}{d x} e^{-x^2 /(2 t)} d x \stackrel{\text { parts }}{=}-t \xi \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{\mathbb{R}} e^{i x \xi} e^{-x^2 /(2 t)} d x$$

$$\frac{\phi_t^{\prime}(\xi)}{\phi_t(\xi)}=-t \xi$$

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