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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MA8202 Dimensions

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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Not many properties of the Rees algebra $R[I t]$ are available without further restrictions. Throughout, one assumes that (at least) $R$ is a Noetherian ring. Recall that $R[I t]$ is standard $\mathbb{N}$-graded over $R=R[I t]0$. As such, the ideal $R[I t]{+}:=(I t) R[I t]$ generated by the elements of positive degree is often called irrelevant as a slight association with a mesmerizing concept of algebraic geometry.
A first easy formula comes out immediately from Theorem 2.5.39.
Proposition 7.3.1. Let $R$ denote a Noetherian domain and $I \subset R$ a nonzero ideal. Then $\operatorname{dim} R[I t]=\operatorname{dim} R+1$ and $\mathrm{ht} R[I t]_{+}=1$.

Proof. Take $S=R[I t]$ in Theorem 2.5 .39 and $P=R[I t]_{+}$, taking in account that $\operatorname{trdeg}_R(R[I t])=\operatorname{trdeg}_K(K(t))=1$, where $K$ denotes the field of fractions of $R$.
As usual, in formulas like the above, both sides can be infinite.
In the case where $R$ is not a domain, the result has to be slightly modified. As a case “sans gloire,” if $I$ is a nilpotent ideal then $R[I t]$ is a finitely generated $R$-module, hence $\operatorname{dim} R[I t]=\operatorname{dim} R$.
One needs the following basic result.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The extended Rees algebra

Next, one deals with the dimension of the associated graded ring $\mathrm{gr}_I(R)$.
For this, it will be handier to work with the extended Rees algebra $R\left[I t, t^{-1}\right] \subset$ $R\left[t, t^{-1}\right]$ instead. It has at the outset (at least) two advantages over its subalgebra $R[I t]$ : first, it carries the regular element $t^{-1}$; second, one has $R\left[I t, t^{-1}\right] /\left(t^{-1}\right) \simeq \operatorname{gr}_I(R)$. To see this isomorphism, note that multiplying by $t^{-1}$ shifts the degrees by one, yielding $t^{-1} R\left[I t, t^{-1}\right]=\cdots \oplus R t^{-1} \oplus I \oplus I^2 t \oplus \cdots=\cdots \oplus R t^{-1} \oplus I R[I t]$, hence
$$
R\left[I t, t^{-1}\right] / t^{-1} R\left[I t, t^{-1}\right] \simeq R[I t] / I R[I t]=\operatorname{gr}_I R
$$
The analogue of Proposition 7.3.3 comes with no restrictions.
Proposition 7.3.5. Let $R$ denote a Noetherian ring and $I \subset R$ any ideal. Then $\operatorname{dim} R[I t$, $\left.t^{-1}\right]=\operatorname{dim} R+1$

Proof. As in the proof of Lemma 7.3.2, the association $p \mapsto p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$ is oneto-one between the prime ideals of $R$ and certain prime ideals of the extended Rees algebra. By the same token, if $p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$ is a minimal prime of $R\left[I t, t^{-1}\right]$ then $p$ is a minimal prime of $R$.

On the other hand, let $\wp$ denote a minimal prime of $R\left[I t, t^{-1}\right]$. Since $t^{-1}$ is a regular element then $\wp R\left[I t, t^{-1}\right]_{t^{-1}}$ is a prime ideal of the Laurent polynomial ring, hence must be of the form $p R\left[t, t^{-1}\right]$, for some $p \in \operatorname{Spec} R$. It follows that $\wp=p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$.

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交换代数代写

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Rees代数的性质不多 $R[I t]$ 没有进一步的限制。自始至终,人们假设 (至少) $R$ 是诺特 环。回想起那个 $R[I t]$ 是标准的 $\mathbb{N}$-评分超过 $R=R[I t] 0$. 因此,理想的
$R[I t]+:=(I t) R[I t]$ 由正度数的元素生成的,通常被称为无关紧要,因为它与令人着 迷的代数几何概念有轻微的关联。
第一个简单的公式立即从定理 2.5 .39 中得出。
提案 7.3.1。让 $R$ 表示一个诺特域并且 $I \subset R$ 一个非零的理想。然后
$\operatorname{dim} R[I t]=\operatorname{dim} R+1$ 和ht $R[I t]{+}=1$. 证明。拿 $S=R[I t]$ 在定理 2.5 .39 和 $P=R[I t]{+}$,考虑到
$\operatorname{trdeg}_R(R[I t])=\operatorname{trdeg}_K(K(t))=1$ ,在哪里 $K$ 表示分数的领域 $R$.
像往常一样,在上面的公式中,两边都可以是无限的。
在这种情况下 $R$ 不是域,结果必须稍作修改。作为一个“sans gloire”的案例,如果 $I$ 是 一个幂零理想然后 $R[I t]$ 是有限生成的 $R$-模块,因此 $\operatorname{dim} R[I t]=\operatorname{dim} R$.
需要以下基本结果。

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接下来,处理相关分级环的尺寸 $\operatorname{gr}_I(R)$.
为此,使用扩展的 Rees 代数会更方便 $R\left[I t, t^{-1}\right] \subset R\left[t, t^{-1}\right]$ 反而。与它的子代数 相比,它一开始 (至少) 有两个优势 $R[I t]$ : 首先,它带有常规元素 $t^{-1}$; 第二,一个有 $R\left[I t, t^{-1}\right] /\left(t^{-1}\right) \simeq \operatorname{gr}_I(R)$. 要看到这种同构,请注意乘以 $t^{-1}$ 将度数移动一个,产 生 $t^{-1} R\left[I t, t^{-1}\right]=\cdots \oplus R t^{-1} \oplus I \oplus I^2 t \oplus \cdots=\cdots \oplus R t^{-1} \oplus I R[I t]$ ,因此
$$
R\left[I t, t^{-1}\right] / t^{-1} R\left[I t, t^{-1}\right] \simeq R[I t] / I R[I t]=\operatorname{gr}_I R
$$
提案 7.3.3 的类比没有任何限制。
提案7.3.5。让 $R$ 表示一个诺特环并且 $I \subset R$ 任何理想。然后 $\operatorname{dim} R[I t$ , $\left.t^{-1}\right]=\operatorname{dim} R+1$
证明。正如在引理 7.3.2 的证明中,协会 $p \mapsto p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$ 在的主要理想 之间是一对一的 $R$ 以及扩展 Rees 代数的某些素理想。同样的道理,如果 $p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$ 是的最小素数 $R\left[I t, t^{-1}\right]$ 然后 $p$ 是的最小素数 $R$.
另一方面,让 $\wp$ 表示的最小素数 $R\left[I t, t^{-1}\right]$. 自从 $t^{-1}$ 那么是一个常规元素 对于一些 $p \in \operatorname{Spec} R$. 它遵循 $\wp=p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$.

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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