Posted on Categories:Commutative Algebra, 交换代数, 数学代写

# 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MA8202 Dimensions

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Dimensions

Not many properties of the Rees algebra $R[I t]$ are available without further restrictions. Throughout, one assumes that (at least) $R$ is a Noetherian ring. Recall that $R[I t]$ is standard $\mathbb{N}$-graded over $R=R[I t]0$. As such, the ideal $R[I t]{+}:=(I t) R[I t]$ generated by the elements of positive degree is often called irrelevant as a slight association with a mesmerizing concept of algebraic geometry.
A first easy formula comes out immediately from Theorem 2.5.39.
Proposition 7.3.1. Let $R$ denote a Noetherian domain and $I \subset R$ a nonzero ideal. Then $\operatorname{dim} R[I t]=\operatorname{dim} R+1$ and $\mathrm{ht} R[I t]_{+}=1$.

Proof. Take $S=R[I t]$ in Theorem 2.5 .39 and $P=R[I t]_{+}$, taking in account that $\operatorname{trdeg}_R(R[I t])=\operatorname{trdeg}_K(K(t))=1$, where $K$ denotes the field of fractions of $R$.
As usual, in formulas like the above, both sides can be infinite.
In the case where $R$ is not a domain, the result has to be slightly modified. As a case “sans gloire,” if $I$ is a nilpotent ideal then $R[I t]$ is a finitely generated $R$-module, hence $\operatorname{dim} R[I t]=\operatorname{dim} R$.
One needs the following basic result.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The extended Rees algebra

Next, one deals with the dimension of the associated graded ring $\mathrm{gr}_I(R)$.
For this, it will be handier to work with the extended Rees algebra $R\left[I t, t^{-1}\right] \subset$ $R\left[t, t^{-1}\right]$ instead. It has at the outset (at least) two advantages over its subalgebra $R[I t]$ : first, it carries the regular element $t^{-1}$; second, one has $R\left[I t, t^{-1}\right] /\left(t^{-1}\right) \simeq \operatorname{gr}_I(R)$. To see this isomorphism, note that multiplying by $t^{-1}$ shifts the degrees by one, yielding $t^{-1} R\left[I t, t^{-1}\right]=\cdots \oplus R t^{-1} \oplus I \oplus I^2 t \oplus \cdots=\cdots \oplus R t^{-1} \oplus I R[I t]$, hence
$$R\left[I t, t^{-1}\right] / t^{-1} R\left[I t, t^{-1}\right] \simeq R[I t] / I R[I t]=\operatorname{gr}_I R$$
The analogue of Proposition 7.3.3 comes with no restrictions.
Proposition 7.3.5. Let $R$ denote a Noetherian ring and $I \subset R$ any ideal. Then $\operatorname{dim} R[I t$, $\left.t^{-1}\right]=\operatorname{dim} R+1$

Proof. As in the proof of Lemma 7.3.2, the association $p \mapsto p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$ is oneto-one between the prime ideals of $R$ and certain prime ideals of the extended Rees algebra. By the same token, if $p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$ is a minimal prime of $R\left[I t, t^{-1}\right]$ then $p$ is a minimal prime of $R$.

On the other hand, let $\wp$ denote a minimal prime of $R\left[I t, t^{-1}\right]$. Since $t^{-1}$ is a regular element then $\wp R\left[I t, t^{-1}\right]_{t^{-1}}$ is a prime ideal of the Laurent polynomial ring, hence must be of the form $p R\left[t, t^{-1}\right]$, for some $p \in \operatorname{Spec} R$. It follows that $\wp=p R\left[t, t^{-1}\right] \cap R\left[I t, t^{-1}\right]$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代 考|Dimensions

Rees代数的性质不多 $R[I t]$ 没有进一步的限制。自始至终，人们假设 (至少) $R$ 是诺特 环。回想起那个 $R[I t]$ 是标准的 $\mathbb{N}$-评分超过 $R=R[I t] 0$. 因此，理想的
$R[I t]+:=(I t) R[I t]$ 由正度数的元素生成的，通常被称为无关紧要，因为它与令人着 迷的代数几何概念有轻微的关联。

$\operatorname{dim} R[I t]=\operatorname{dim} R+1$ 和ht $R[I t]{+}=1$. 证明。拿 $S=R[I t]$ 在定理 2.5 .39 和 $P=R[I t]{+}$，考虑到
$\operatorname{trdeg}_R(R[I t])=\operatorname{trdeg}_K(K(t))=1$ ，在哪里 $K$ 表示分数的领域 $R$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代 考|The extended Rees algebra

$$R\left[I t, t^{-1}\right] / t^{-1} R\left[I t, t^{-1}\right] \simeq R[I t] / I R[I t]=\operatorname{gr}_I R$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。