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# 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|ST308 THE DIRICHLET DISTRIBUTION

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## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|THE DIRICHLET DISTRIBUTION

The Dirichlet distribution is a multivariate distribution over the probability simplex of a fixed dimension. This means it defines a distribution over $K$ continuous random variables, $0 \leq \theta_k \leq 1$ for $k \in{1, \ldots, K}$ such that:
$$\sum_{k=1}^K \theta_k=1$$
Its probability density depends on $K$ positive real values, $\alpha_1, \ldots, \alpha_K$. The PDF appears in Equation 2.2 where $C(\alpha)$ is a normalization constant defined as:
$$C(\alpha)=\frac{\Gamma\left(\sum_{k=1}^K \alpha_k\right)}{\Gamma\left(\alpha_1\right) \ldots \Gamma\left(\alpha_K\right)},$$
with $\Gamma(x)$ being the Gamma function for $x \geq 0$ (see also Appendix B) – generalization of the factorial function such that whenever $x$ is natural number it holds that $\Gamma(x)=(x-1) !$.

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Beta Distribu

The Beta Distribution In the special case where $K=2$, the Dirichlet distribution is also called the Beta distribution, and has the following density:
$$p\left(\theta_1, \theta_2 \mid \alpha_1, \alpha_2\right)=\frac{\Gamma\left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\Gamma\left(\alpha_1\right) \Gamma\left(\alpha_2\right)} \theta_1^{\alpha_1-1} \theta_2^{\alpha_2-1} .$$
Since $\theta_1+\theta_2=1$, the Beta distribution can be described as a univariate distribution over $\theta^{\prime} \in[0,1]:$
$$p\left(\theta^{\prime} \mid \alpha_1, \alpha_2\right)=\frac{\Gamma\left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\Gamma\left(\alpha_1\right) \Gamma\left(\alpha_2\right)}\left(\theta^{\prime}\right)^{\alpha_1-1}\left(1-\theta^{\prime}\right)^{\alpha_2-1} .$$

# 贝叶斯分析代写

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|THE DIRICHLET DISTRIBUTION

Dirichlet 分布是固定维度的概率单纯形的多元分布。这意味着它定义了一个分布 $K$ 连续随机变量， $0 \leq \theta_k \leq 1$ 为了 $k \in 1, \ldots, K$ 这样:
$$\sum_{k=1}^K \theta_k=1$$

$$C(\alpha)=\frac{\Gamma\left(\sum_{k=1}^K \alpha_k\right)}{\Gamma\left(\alpha_1\right) \ldots \Gamma\left(\alpha_K\right)},$$

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The Beta Distribu

$$p\left(\theta_1, \theta_2 \mid \alpha_1, \alpha_2\right)=\frac{\Gamma\left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\Gamma\left(\alpha_1\right) \Gamma\left(\alpha_2\right)} \theta_1^{\alpha_1-1} \theta_2^{\alpha_2-1} .$$

$$p\left(\theta^{\prime} \mid \alpha_1, \alpha_2\right)=\frac{\Gamma\left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\Gamma\left(\alpha_1\right) \Gamma\left(\alpha_2\right)}\left(\theta^{\prime}\right)^{\alpha_1-1}\left(1-\theta^{\prime}\right)^{\alpha_2-1} .$$

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