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# 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|ECO400 Orthogonal Projection

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## 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Orthogonal Projection

Define
\begin{aligned} \boldsymbol{M} & =\boldsymbol{I}_n-\boldsymbol{P} \ & =\boldsymbol{I}_n-\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\prime} \end{aligned}
where $I_n$ is the $n \times n$ identity matrix. Note that
$$M X=\left(I_n-P\right) X=X-P X=X-X=0 .$$
Thus $\boldsymbol{M}$ and $\boldsymbol{X}$ are orthogonal. We call $\boldsymbol{M}$ an orthogonal projection matrix, or more colorfully an annihilator matrix, due to the property that for any matrix $\boldsymbol{Z}$ in the range space of $\boldsymbol{X}$ then
$$M Z=Z-P Z=0 .$$

## 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Estimation of Error Variance

The error variance $\sigma^2=\mathbb{E}\left[e_i^2\right]$ is a moment, so a natural estimator is a moment estimator. If $e_i$ were observed we would estimate $\sigma^2$ by
$$\widetilde{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e_i^2$$
However, this is infeasible as $e_i$ is not observed. In this case it is common to take a two-step approach to estimation. The residuals $\widehat{e}i$ are calculated in the first step, and then we substitute $\widehat{e}_i$ for $e_i$ in expression (3.26) to obtain the feasible estimator $$\widehat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum{i=1}^n \hat{e}_i^2$$
In matrix notation, we can write (3.26) and (3.27) as
$$\widetilde{\sigma}^2=n^{-1} \boldsymbol{e}^{\prime} \boldsymbol{e}$$
and
$$\widehat{\sigma}^2=n^{-1} \widehat{\boldsymbol{e}}^{\prime} \hat{\boldsymbol{e}} .$$

## 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Orthogonal Projection

$$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{I}_n-\boldsymbol{P} \quad=\boldsymbol{I}_n-\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\prime}$$

$$M X=\left(I_n-P\right) X=X-P X=X-X=0 .$$

$$M Z=Z-P Z=0 .$$

## 经济代写|计量经济学代写Introduction to Econometrics代考|Estimation of Error Variance

$$\tilde{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e_i^2$$

$$\widehat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum i=1^n \hat{e}_i^2$$

$$\tilde{\sigma}^2=n^{-1} e^{\prime} \boldsymbol{e}$$

$$\widehat{\sigma}^2=n^{-1} \widehat{e}^{\prime} \hat{e}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。