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# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Symmetric, Skew-Symmetric and Alternate Forms

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## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Symmetric, Skew-Symmetric and Alternate Forms

In this chapter, we study vector spaces over arbitrary fields that have a bilinear form defined on them. As we will see, the study of such vector spaces has a very geometric flavor, and hence so does the terminology.

Unless otherwise mentioned, all vector spaces are assumed to be finite dimensional. The symbol $F$ denotes an arbitrary field, and $F_{\mathrm{q}}$ denotes a finite field of size $q$.

Definition Let $\mathrm{V}$ be a vector space over $\mathrm{F}$. A mapping $\langle\rangle:, \mathrm{V} \times \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{F}$ is called a bilinear form if it is a linear function of each coordinate, that is, if and
\begin{aligned} & \langle\alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{y}, \mathbf{z}\rangle=\alpha\langle\mathbf{x}, \mathbf{z}\rangle+\beta\langle\mathbf{y}, \mathbf{z}\rangle \ & \langle\mathbf{z}, \alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{y}\rangle=\alpha\langle\mathbf{z}, \mathbf{x}\rangle+\beta\langle\mathbf{z}, \mathbf{y}\rangle \end{aligned}

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Matrix of a Bilinear Form

If $\mathscr{B}=\left(\mathbf{b}1, \ldots, \mathbf{b}{\mathbf{n}}\right)$ is an ordered basis for a metric vector space $\mathrm{V}$, then the form $\langle$,$\rangle is completely determined by the \mathrm{n} \times \mathrm{n}$ matrix of values
$$M_{\mathscr{B}}=\left(a_{i, j}\right)=\left(\left\langle\mathbf{b}{\mathrm{i}}, \mathbf{b}{\mathrm{j}}\right\rangle\right)$$
which is referred to as the matrix of the form $\langle$,$\rangle with respect to the$ ordered basis $\mathbb{B}$.
Observe that if $\mathbf{x}=\Sigma \mathrm{x}{\mathrm{i}} \mathbf{b}{\mathrm{i}}$ and $\mathbf{y}=\Sigma \mathrm{y}{\mathrm{j}} \mathbf{b}{\mathrm{j}}$, then
$$\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\sum_i \sum_j x_i y_j\left\langle\mathbf{b}i, \mathbf{b}_j\right\rangle=\sum_i x_i\left(\sum_j a{i, j} y_j\right)=[\mathbf{x}]{\mathscr{B}}^{\top} M{\mathscr{B}}[\mathbf{y}]{\mathscr{B}}$$ where $[\mathbf{x}]{\mathscr{B}}$ and $[\mathbf{y}]_{\mathscr{B}}$ are the coordinate matrices of $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$, respectively.

Notice also that a form is symmetric if and only if the matrix $M_{\mathscr{B}}=\left(a_{i, j}\right)$ of the form satisfies
$$\mathrm{a}{\mathrm{i}, \mathrm{j}}=\mathrm{a}{\mathrm{j}, \mathrm{i}}$$
for all $1 \leq i, j \leq n$, that is, if and only if $M_{B B}$ is a symmetric matrix. Similarly, a form is alternate if and only if the matrix $M_{\mathscr{B}}=\left(a_{i, j}\right)$ of the form satisfies
$$\mathrm{a}{\mathrm{i}, \mathrm{i}}=0, \quad \mathrm{a}{\mathrm{i}, \mathrm{j}}=-\mathrm{a}_{\mathrm{j}, \mathrm{i}}(\mathrm{i} \neq \mathrm{j})$$
Such a matrix is referred to as alternate.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Symmetric, Skew-Symmetric and Alternate Forms

$$\langle\alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{y}, \mathbf{z}\rangle=\alpha\langle\mathbf{x}, \mathbf{z}\rangle+\beta\langle\mathbf{y}, \mathbf{z}\rangle \quad\langle\mathbf{z}, \alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{y}\rangle=\alpha\langle\mathbf{z}, \mathbf{x}\rangle+\beta\langle\mathbf{z}, \mathbf{y}\rangle$$

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Matrix of a Bilinear Form

)iscompletelydeterminedbythe $\times \mathrm{n}$ 价值矩阵
$$M_{\mathscr{B}}=\left(a_{i, j}\right)=(\langle\mathbf{b i}, \mathbf{b j}\rangle)$$

$$\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\sum_i \sum_j x_i y_j\left\langle\mathbf{b} i, \mathbf{b}j\right\rangle=\sum_i x_i\left(\sum_j a i, j y_j\right)=[\mathbf{x}] \mathscr{B}^{\top} M \mathscr{B}[\mathbf{y}] \mathscr{B}$$ 在哪里 $[\mathbf{x}] \mathscr{B}$ 和 $[\mathbf{y}]{\mathscr{B}}$ 是坐标矩阵 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ ，分别。

$$a i, j=a j, i$$

$$\mathrm{ai}, \mathrm{i}=0, \quad \mathrm{ai}, \mathrm{j}=-\mathrm{a}_{\mathrm{j}, \mathrm{i}}(\mathrm{i} \neq \mathrm{j})$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。