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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|An arc-sine law

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|An arc-sine law

There are quite a few functionals of a Brownian path which follow an arc-sine distribution. Most of them are more or less connected with the zeros of $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$. Consider, for example, the largest zero of $B_s$ in the interval $[0, t]$ : $$\xi_t:=\sup \left{s \leqslant t: B_s=0\right}$$ Obviously, $\xi_t$ is not a stopping time since $\left{\xi_t \leqslant r\right}, r{t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^1$ and write $\xi_t$ for the largest zero of $B_s$ in the interval $[0, t]$. Then
$$\mathbb{P}\left(\xi_t<s\right)=\frac{2}{\pi} \arcsin \sqrt{\frac{s}{t}} \text { for all } 0 \leqslant s \leqslant t .$$

Proof. Set $h(s):=\mathbb{P}\left(\xi_t<s\right)$. By the Markov property we get
\begin{aligned} h(s) & =\mathbb{P}\left(B_u \neq 0 \text { for all } u \in[s, t]\right) \ & =\int \mathbb{P}^{B_s(\omega)}\left(B_{u-s} \neq 0 \text { for all } u \in[s, t]\right) \mathbb{P}(d \omega) \ & =\int \mathbb{P}^b\left(B_{u-s} \neq 0 \text { for all } u \in[s, t]\right) \mathbb{P}\left(B_s \in d b\right) \ & =\int \mathbb{P}^0\left(B_v \neq-b \text { for all } v \in[0, t-s]\right) \mathbb{P}\left(B_s \in d b\right) \ & =\int \mathbb{P}^0\left(\tau_{-b} \geqslant t-s\right) \mathbb{P}\left(B_s \in d b\right), \end{aligned}
where $\tau_{-b}$ is the first passage time for $-b$. Using $\mathbb{P}\left(B_s \in d b\right)=\mathbb{P}\left(B_s \in-d b\right)$ and $\mathbb{P}\left(\tau_b \geqslant t-s\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi(t-s)}} \int_0^b e^{-x^2 / 2(t-s)} d x$, cf. Theorem 6.9, we get
\begin{aligned} h(s) & =2 \int_0^{\infty} \sqrt{\frac{2}{\pi(t-s)}} \int_0^b e^{-\frac{x^2}{2(t-s)}} d x \frac{1}{\sqrt{2 \pi s}} e^{-\frac{b^2}{2 s}} d b \ & =\frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \int_0^{\beta \sqrt{\frac{s}{t-s}}} e^{-\frac{\xi^2}{2}} d \xi e^{-\frac{\beta^2}{2}} d \beta . \end{aligned}

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Some measurability issues

Let $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^1$. Recall from Definition 5.1 that a filtration $\left(\mathcal{G}_t\right){t \geqslant 0}$ is admissible if
\mathcal{F}_t^B \subset \mathcal{G}_t \quad \text { and } \quad B_t-B_s \Perp \mathcal{G}_s \quad \text { for all } st} \mathcal{F}_u^B, \ \mathcal{G}_t & :=\overline{\mathcal{F}}_t^B:=\sigma\left(\mathcal{F}_t^B, \mathcal{N}\right) \end{aligned}
where $\mathcal{N}={M \subset \Omega: \exists N \in \mathcal{A}, M \subset N, \mathbb{P}(N)=0}$ is the system of all subsets of measurable $\mathbb{P}$ null sets; $\overline{\mathcal{F}}_t^B$ is the completion of $\mathcal{F}_t^B$

6.20 Lemma. Let $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^d$. Then $\mathcal{F}{t+}^B$ and $\overline{\mathcal{F}}_t^B$ are admissible in the sense of Definition 5.1.

Proof. $\mathbf{1}^{\circ} \quad \mathcal{F}{t+}^B$ is admissible: Let $0 \leqslant t \leqslant u, F \in \mathcal{F}{t+}$, and $f \in \mathcal{C}b\left(\mathbb{R}^d\right)$. Since $F \in \mathcal{F}{t+\epsilon}$ for all $\epsilon>0$, we find with (5.1)
$$\mathbb{E}\left[\mathbb{1}_F \cdot f(B(u+\epsilon)-B(t+\epsilon))\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{1}_F\right] \cdot \mathbb{E}[f(B(u+\epsilon)-B(t+\epsilon))]$$
Letting $\epsilon \rightarrow 0$ proves $5.1 \mathrm{~b}$ ); condition 5.1 a) is trivially satisfied.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。